Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1706

Розглянемо рух матеріальної точки, яка одночасно приймає участь у декількох коливних рухах в різних напрямах. Найпростішою задачею даного плану є задача додавання двох взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти

.

Нехай матеріальна точка одночасно виконує коливання: і , . Знайдемо рівняння траєкторії результуючого руху. Для цього з обох рівнянь виключимо час і знайдемо взаємозв’язок між і .

; (7.26)

Врахуємо, що , а і підставимо їх у вираз ( 7.26):

Після перетворення останнього виразу отримаємо:

(7.27)

Вираз (7.27) є рівнянням еліпса, орієнтованого до-вільно відносно осей та . Дослідимо форму траєкторії в декількох часткових випадках:

а) За умови , рівняння (7.27) набуває вигляду:

(7.28)

Вираз (7.28) є рівнянням еліпса, півосі якого співпадають з осями і . Див. рис. 41.

Коли математичний маят-ник одночасно виконує коливання в напрямах і , то матеріальна точка, що є складовою маятника рухається траєкторією, зображеною на рис. 41. У випадку рівності амплітуд , еліптична траєкторія руху вироджується в коло.

б) За умови ; вираз (7.27)набуває вигляду:

(7.29)

З цього виразу отримаємо (див. рис. 42). Це рівняння прямої. Матеріальна точка рухається вздовж прямої з кутовим коефіцієнтом . Її максимальне відхилення в напрямі цієї прямої .

Рівняння коливання точки вздовж прямої

.

в) За умови вираз (7.27) набуває вигляду:

або (див. рис. 43). (7.30)

Результуючим рухом буде коливний рух вздовж прямої з кутовим коефі-цієнтом .

Якщо відміннй від 0, ; та , то траєкторією руху буде еліпс, орієнтація якого відносно і визначається кутом .

У процесі додавання взаємно перпендикулярних коливань з різними частотами результуючими траєкторіями є криві складних форм, які називають фігурами Лісажу. Вигляд цих кривих суттєво залежить як від співвідношення між частотами коливань так і від початкової різниці фаз коливань.

Відносно прості фігури Лісажу отримуються під час додавання коливань, частоти яких кратні. Для прикладу на рис. 44 показані фігури Лісажу, що отримуються у разі додавання коливань з різними відношеннями частот і різною різницею початкових фаз коливань.