Распределение ПуассонаПусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р^0,1). В этих случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона. Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр = к. Как будет следовать из дальнейшего (см. гл. VII, § 5), это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным. Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности: Рп ( k) = «,(«- П (Д-2)- Лп-(к- 1)1 р* Так как р/г = Х, то р — к/п. Следовательно, ■><—(£)*(!—А)"-*. Приняв во внимание, что п имеет очень большое значение, вместо Pn{k) найдем lim Рп (k). При этом будет най- Л —► 00 дено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: п хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим п к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение пр сохраняет постоянное значение, то при п —>-оо вероятность р —>-0. Итак, п,и, п{п — I) (п — 2)...[п — (к —1)1 %к {. PAk)^hm^—lJ!—< _ -ifii*. [‘-(‘Ч) (<-!)•• («- 4 П- Таким образом (для простоты записи знак приближенного равенства опущен), Рп (k) = №e~x/k\
|
