Геометрическое распределениеПусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0 < р < 1) и, следовательно, вероятность его непоявления q=\ — р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в fe-м испытании, то в предшествующих k — 1 испытаниях оно не появлялось. Обозначим через X дискретную случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями X являются натуральные числа: хг= 1, х2~2, ... Пусть в первых k —1 испытаниях событие А не наступило, а в fe-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий, P{X = k) = q*-'p. (*) Полагая k=\, 2,... в формуле (*•), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q< 1): р, qp, q*p,..., qb-'p,... (**) По этой причине распределение (*) называют геометрическим. Легко убедиться, что ряд (*•*) сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда (*•*) Р/(1 — q) = P/P= 1. Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле. Решение. По условию, р = 0,6, </ = 0,4, к = Ъ. Искомая вероятность по формуле (*) P = 9*-i.p = 0,42 0,6 = 0,096„
|
