Min (М, п).Найдем вероятность того, что Х — т, т. е. что среди п отобранных изделий ровно т стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь п изделий из N изделий, т. е. числу сочетаний С&;. Найдем число исходов, благоприятствующих событию Х — т (среди взятых п изделий ровно т стандартных); т стандартных изделий можно извлечь из М стандартных изделий См способами; при этом остальные п—т изделий должны быть нестандартными; взять же п—т нестандартных изделий из N — т нестандартных изделий можно СЯг_тм способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно СмСУгИм (см. гл. I, § 4, правило умножения). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию Х — т, к числу всех элементарных исходов fjn f^n—m Pi<X=m) = —M-J^. (*) Cn Формула (*•) определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим. Учитывая, что т — случайная величина, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N, М, п. Иногда в качестве параметров этого распределения рассматривают N, п и p — M/N, где р — вероятность того, что первое извлеченное изделие стандартное. Заметим, что если п значительно меньше N (практически если п<0,Ш), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.
|
