Наконец, заменив неравенства, заключенные в скобках, равносильным им исходным неравенством, окончательно получимР (| т/п—р | <; е) ~ 2Ф (е У n/(pq)). Итак, вероятность осуществления неравенства | т/п — р|^е приближенно равна значению удвоенной функции Лапласа 2Ф (х) при х = е}/ n/(pq). Пример 1. Вероятность того, что деталь не стандартна, р — 0,1. Найтн вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности р*=0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,03. Решение. По условию, л = 400; р = 0,1; q = 0,9; е = 0,03. Требуется найтн вероятность Р (| т/400 —0,1 | < 0,03). Пользуясь формулой Р(|т/л—р|<е)»2Ф(е Yп/(РЯ)), имеем Р (| т/400— 0,1 ] < 0,03)» 2Ф (0,03 ^400/(0,1-0,9)) = 2Ф (2). По таблице приложения 2 находим Ф (2) = 0,4772. Следовательно, 2Ф (2) = 0,9544. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544. Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р=0,1 по абсолютной величине не превысит 0,03. Пример 2. Вероятность того, что деталь не стандартна, р = 0,1. Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей (среди отобранных) отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0,03. Решение. По условию, р = 0,1; д — 0,9; г — 0,03; Р(\т/п — 0,1|< <0,03) —0,9544. Требуется найти л. Воспользуемся формулой Р (| т/п — р | < е)» 2Ф (е У n/(pq)).
|
