Искомая вероятность по формуле Бернулли равнаPt (4) =CjPy = C%p*q* (0.75)4-(0,25)2 =0,30. Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в п испытаниях ровно k раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если п = 50, k = 30, р =0,1, то для отыскания вероятности Рьо (30) надо вычислить выражение Рбо(30) =50!/(30!20!)-(0,1)зо-(0,9)20, где 50! =30 414 093-10«, 30! =26 525 286-102»,20! = == 24 329020-1011. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного. Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую ** формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико. Заметим, что для частного случая, а именно для р=1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра—Лапласа. Доказательство локальной теоремы Лапласа довольно сложно, поэтому мы приведем лишь формулировку теоремы и примеры, иллюстрирующие ее использование. Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рп (k) того, *' Функцию ф (х)называют асимптотическим приближением функции /(*), если lim JS^L — 1. X со Ф (*)
|
