ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МЕТОДАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ

 

Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с теми же собственными значениями, но более простого вида. Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. К сожале­нию, большая часть методов преобразования не позволяет этого сделать, и приходится довольствоваться приведением матрицы к трехдиагональной форме.

Метод Якоби

 

Метод Якоби позволяет привести матрицу к диагональному виду, последовательно, исключая все элементы, стоящие вне глав­ной диагонали. К сожалению, приведение к строго диагональному виду требует бесконечно большого числа шагов, так как образо­вание нового нулевого элемента на месте одного из элементов матрицы часто ведет к появлению ненулевого элемента там, где ранее был нуль. На практике метод Якоби рассматривают, как итерационную процедуру, которая в принципе позволяет доста­точно близко подойти к диагональной форме, чтобы это преобра­зование можно было считать законченным. В случае симметрич­ной матрицы A действительных чисел преобразование выполня­ется с помощью ортогональных матриц, полученных в результате вращении в действительной плоскости. Вычисления осуществ­ляются следующим образом. Из исходной матрицы А образуют матрицу A₁ == Р₁АР₁^T. При этом ортогональная матрица Р₁ выбирается так, чтобы в матрице А₁ появился нулевой элемент, стоящий вне главной диагонали. Затем из А₁ с помощью второй преобразующей матрицы Р₂, образуют новую матрицу A₂. При этом Р₂, выбирают так, чтобы в A₂ появился еще один нулевой внедиагональный элемент. Эту процедуру продолжают, стремясь, чтобы на каждом шаге в нуль обращался наибольший внедиагональный элемент. Преобразующая матрица для осуществления указанной операции на каждом шаге конструируется следующим образом. Если элемент а_kl матрицы А_т-1 имеет максимальную величину, то Рт соответствует

P _kk = P _ll = cos q,

P _kl = - P _lk = sin q,

P _ii = 1 при i <> k, l, P_ij = 0 при i <> j.

 

Матрица А_т будет отличаться от матрицы A _m-1 только строками и столбцами с номерами k и l. Чтобы элемент а_kl ^(m) был равен нулю, значение q выбирается так, чтобы

2 a_kl^(m-1)

tg 2 q = -------------------------.

a_kk^(m-1) – a_ll^(m-1)

 

k

l

Cos q

.

.

.

.

.

.

sin q

k

Pm =

- sin q

Cos q

l

 

 

Значения q заключены в интервале

p p

- — <= q <= —.

4 4