НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом: A X = l X, где A — матрица размерности n х n. Требуется найти n скалярных значений l и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений. Основные определения матричного исчисления
1. Матрица A называется симметричной, если аij = аij, где i, j = 1, 2,..., n. Отсюда следует симметрия относительно диагонали аkk, где k == 1, 2,..., n. Матрица
является примером симметричной.
2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид
Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду.
3. Матрица A называется ортогональной, если АТА = Е, где Ат—транспонированная матрица A, а Е—единичная матрица. Очевидно, матрица, обратная ортогональной, эквивалентна транспонированной.
4. Матрицы А и В называются подобными, если существует такая несингулярная матрица Р, что справедливо соотношение В = Р-1АР.
|
