На компактных пространствахПредложение 6. Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен. Доказательство. Пусть - непрерывное отображение и - компактное множество в . Возьмем произвольную последовательность . Тогда существует последовательность такая, что , . Последовательности имеет сходящуюся подпоследовательность: , причем . Тогда в силу непрерывности . Предложение доказано. Предложение 7. Образ компактного множества при непрерывном отображении ограничен и замкнут. Доказательство следует из предложения 6 и того, что компактное множество в метрическом пространстве ограничено и замкнуто. Предложение доказано. Предложение 8. Пусть отображает компактное метрическое пространство на числовую прямую . Тогда отображение ограничено и достигает своей точной верхней и точной нижней грани. Доказательство. Числовое множество , согласно предложения 6, ограничено и замкнуто. А из замкнутости следует, что точная верхняя и точная нижняя грани принадлежат множеству значений. Предложение доказано. Предложение 9. Любое непрерывное отображение компактного метрического пространства в метрическое пространство является равномерно непрерывным. Доказательство. Предположим, что не является равномерно непрерывным, т.е. не выполняется (1.15). Построим в символической форме отрицание: . Используя это отрицание, для каждого выберем такие и , что , . (3.4) Из последовательности выберем сходящуюся подпоследовательность . Тогда , т.е. . Но отображение непрерывно, поэтому , и, следовательно, , что противоречит неравенству (3.4). Полученное противоречие и доказывает предложение.
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
|