Эквивалентное определение компактного пространстваОпределение 8. Если каждому элементу некоторого непустого множества поставлено в соответствие некоторое множество, то говорят, что задано семейство или лаконично - . Определение 9. Семейство открытых подмножеств метрического пространства называется открытым покрытием , если . Определение 10. Часть семейства , которая сама является покрытием называется подпокрытием. Теорема 2. Для метрического пространства следующие свойства эквивалентны: 1) метрическое пространство компактно; 2) у любого открытого покрытия пространства существует конечное подпокрытие. Докажем вначале, что из 2) следует 1). Согласно предложения 1, пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку. Предположим, что бесконечное подмножество не имеет предельных точек. Отсюда следует, в частности, что подмножество замкнуто. Далее, у каждой точки есть окрестность , не содержащая других точек из . Семейство, состоящее из и всех множеств , , образует открытое покрытие пространства , не обладающее конечным подпокрытием. Полученное противоречие доказывает часть теоремы. Докажем теперь, что из 1) следует 2). Мы предполагаем, что пространство компактно и поэтому вполне ограничено и полно. Предположим, что существует открытое покрытие пространства , никакое конечное подсемейство которого не покрывает . Используя то, что вполне ограничено, построим его покрытие конечным числом шаров радиуса . Найдется шар , который не может быть покрыт конечным подсемейством из . Шар также является вполне ограниченным. Покрывая его конечным числом шаров радиуса , найдем шар , пересекающийся с и который не может быть покрыт конечным подсемейством из . Продолжая рассуждения, построим последовательность шаров , ни один из которых не может быть покрыт конечным подсемейством из и таких,что пересечения непусты. Отсюда, применяя неравенство треугольника, найдем . Из этого неравенства вытекает, что центры шаров образуют фундаментальную последовательность . И поскольку пространство полно, то последовательность сходится к некоторой точке . Эта точка должна принадлежать хотя бы одному множеству семейства , например, множеству . Так как множество открыто, то вместе с точкой оно содержит открытый шар: существует такое число , что . Теперь выберем так, чтобы одновременно выполнялись два неравенства и . Тогда верно включение . В самом деле, если , то по неравенству треугольника имеем . Следовательно, шар содержится в одном открытом множестве семейства. Получили противоречие с тем, что шар не может быть покрыт конечным подсемейством из . Теорема полностью доказана. Приведем лемму, которая характеризует компактные пространства. Лемма. Пусть - открытое покрытие компактного пространства . Тогда существует такое число , что любой шар с произвольным центром радиуса будет полностью содержаться хотя бы в одном из открытых множеств покрытия. Доказательство. Предположим противное. Тогда для любого можно найти такую точку , что шар не лежит целиком ни в одном из открытых множеств покрытия . Последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке , так как пространство компактно. Эта точка должна принадлежать хотя бы одному множеству семейства, например, множеству . И поскольку множество открыто, то вместе с точкой оно содержит открытый шар: существует такое число , что . Как и в теореме 2, можем найти такое число , чтобы . А это противоречит тому, что шар не содержится целиком ни в одном из открытых множеств покрытия. Лемма доказана. С помощью леммы приведем еще одно доказательство теоремы 2. Второй способ доказательства теоремы 2. Нужно доказать, что из любого покрытия компактного пространства можно выделить конечное подпокрытие. Согласно лемме, существует такое число , что каждый шар радиуса полностью лежит хотя бы в одном из открытых множеств покрытия . Используя вполне ограниченность пространства , построим его покрытие конечным числом шаров радиуса . Обозначим эти шары лаконично через . Каждый шар , по лемме, целиком содержится в некотором открытом множестве . И мы построили конечное число открытых множеств , которые покрывают пространство . Доказательство завершено. В теории метрических и особенно топологических пространств используется другое определение компактного пространства. Определение 11. Метрическое пространство называется компактным, если у любого открытого покрытия пространства существует конечное подпокрытие. Согласно теореме 2, определения 1 и 11 эквивалентны.
|