Центральная предельная теорема

Плотность распределения f(x) локализована в некоторой ограниченной области определения, например так, как показано на рисунке. Как известно, фурье-образ w(k) локализованной функции представляет собой также локализованную функцию. А поскольку фурье-образ распределения F(Z) равен степени wm(k) с большим показателем m, скорость спадания ее от максимума к нулю гораздо больше, чем скорость спадания w(k). Это означает, что в обратном преобразовании
(42)
главный вклад в интеграл дает малая область значений k вблизи нуля. Поэтому величину w(k)=exp{ln w(k)}
преобразуем так: разложим ln w(k) в ряд по степеням k и ограничимся только членами до квадратичного:
Заметим, что
(43)
(44)
(45)
Суммируя все вместе, получаем
(46)
Производящая функция плотности распределения суммы равна
(47)

Проведем обратное преобразование (42). Оно дает

(48)

Из формулы (48) следует, что сумма m случайных величин распределена по гауссовскому закону со средним равным сумме средних значений слагаемых и с дисперсией равной сумме дисперсий. Отсюда в частности следует, что если складывается N случайных величин с ненулевым средним, как, например, сила давления молекул газа на стенку сосуда, то относительный разброс суммы убывает с ростом N пропорционально N-1/2.

Практическое занятие №8