Биномиальное распределение

Рассмотрим распределение молекул газа, находящегося в тепловом равновесии, по частям сосуда.

Пусть имеется сосуд объемом V0,содержащий молекулы. Вероятность одной молекуле находиться в малом объеме V, равна вероятность быть в остальной части равна . Очевидно p+q=1. Две молекулы могут быть распределены четырьмя разными способами: обе в объемчике V с вероятностью, равной p2; первая в объемчике, а вторая вне - с вероятностью pq (с такой же вероятностью вторая находится в объемчике, а первая - вне); и, наконец, обе молекулы могут находиться вне объемчика с вероятностью q2. Очевидно p2+2pq+q2=(p+q)2=1. Три молекулы могут быть распределены следующим образом. Все три молекулы находятся в объемчике V. Вероятность такого распределения равна p3. Еще одно распределение: две молекулы находятся в объемчике V,а одна - вне. Вероятность такого распреде­ления равна 3p2q. Следующее распределение: одна молекула находится в объемчике V,а две - вне. Вероятность такого распределения равна 3pq2. И, наконец, все три молекулы находятся вне объемчика с вероятностью q3. Полная вероятность реализации какого-либо распределения молекул равна p3+3p2q+3pq2+q3=(p+q)3=1.

Рассмотрим теперь всевозможные распределения N молекул в сосуде. Событие, заключающееся в том, что в объемчике V находится ровно n молекул, происходит, если остальные N-n молекул расположены вне объемчика. Элементарным событием является событие, например, такое: “молекулы под номерами 8, 45 и 1024 находятся в объемчике V, а все остальные - вне объемчика. Из соображений симметрии можно предположить, что вероятность элементарного события, заключающегося в том, что заданный набор из n молекул окажется в объемчике, равна . Любая перестановка молекул между собой приводит к одному и тому же распределению (сложному событию). Таких перестановок всего N!. Правда, перестановки n молекул внутри объемчика не дают нового элементарного события, значит перестановки преувеличивают число элементарных событий в n! раз. Кроме того, и перестановки N-n молекул вне объемчика также повторяют одно и то же элементарное событие. Это еще преувеличение в (N-n)!.Таким образом, число различных размещений молекул по двум объемам - число элементарных событий, составляющих описываемое сложное событие, - равно . В силу равновероятности элементарных событий можем определить вероятность того, что в объемчике V находится n молекул, а остальные находятся вне его. Она равна сумме вероятностей составляющих элементарных событий:

(6)
Это и есть биномиальное распределение. Зависимость P(n) показана на рисунке. Максимум вероятности приходится на значение числа молекул в объемчике, равное (средняя плотность молекул, умноженная на величину объемчика). Это видно из следующих соображений. В точке максимума должно выполняться
(7)
Откуда, с учетом соотношения q+p=1, следует n_max=nm=pN.