ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

6.1 Общие сведения

 

Дифференциальные уравнения связаны с построением моделей динамики (движение) объектов исследования. Они описывают, как правило, изменение параметров объектов во времени (хотя могут быть и другие случаи). Результатом решения дифференциальных уравнений являются функции, а не числа, как при решении алгебраических уравнений, поэтому они и более трудоемки.

При использовании численных методов решение дифференциальных уравнений представляется в табличном виде, т.е. получается совокупность значений (X_n,Y_n). Решение носит шаговый характер, т.е. по одной или нескольким начальным точкам (Х,Y) за один шаг находят следующую точку, затем следующую и т.д. Решение между двумя соседними значениями аргумента называется шагом.

Однако прежде чем обсуждать методы решения, приведем некоторые сведения из курса дифференциальных уравнений.

В зависимости от числа независимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории: обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), содержащие одну независимую переменную, и уравнения с частными производными, содержащими несколько независимых переменных (например, в механике сплошных сред искомой функцией является плотность, t°, напряжение и др., а аргументами - координаты рассматриваемой точки в пространстве и время).

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции , где х в схемотехнике – это время t, а искомая функция – х, т. е. х = f(t).

ТогдаОДУ можно записать в виде:

(6.1)

где t – независимая переменная.

Наивысший порядок (n) производной, входящей в уравнение (6.1) называется порядком дифференциального уравнения. В частности

F(t, x, x’) = 0 - дифференциальное уравнение I порядка.

F(t,x’, x”) = 0 - дифференциальное уравнение II порядка.

В ряде случаев удается выразить старшую производную в явном виде .

Такие уравнения называют уравнениями, разрешенными относительно старшей производной.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой функции x и её производных. Например, - линейное уравнение.

Решением дифференциального уравнения (6.1) n- гопорядка называется всякая функция , которая после ее подстановки в (6.1) превращает его в тождество. Решение ОДУ может быть общим и частным.

Общее решение ОДУ n -го порядка содержит n произвольных постоянных С₁, С₂,, С₃,,… С_n, т.е. решение ОДУ имеет вид: .

Частное решение ОДУ получается из общего, если произвольным постоянным задать определенные значения.

Для уравнения I порядка общее решение , С – произвольная константа. Если положить С = С ₀, тогда частное решение будет .