Методы Чебышева и Гаусса

 

Все предыдущие методы имели следующую особенность:

- значения х располагались равномерно, а весовые коэффициенты, в общем случае, были разными (хотя некоторые из них были рав­ны друг другу).

В методе Чебышева приняты все весовые коэффи­циенты одинаковыми, а х_i — разными.

Предварительно при использовании приведенных ниже формул метода следует преоб­разовать переменную интегрирования, приведя ее к диапазону [-1,1] следующим образом:

Расчетные формулы получаются для различных значений k (число ординат, использующихся при расчетах на одном участке), исходя из обеспечения возможности интегрирования без ошибки полинома как можно более высокой степени. Оказывается, мож­но интегрировать полином без ошибки при k = 2,3,4,5,6,7,9. Для этого уже рассчитаны необходимые параметры. Часть из них приведена ниже.

,

,

,

, , .

С учетом преобразования переменной формула интегрирова­ния Чебышева будет выглядеть так:

 

В методе Гаусса, в отличие от метода Чебышева, все z_i и все весовые коэффициенты w_i — раз­ные. Это позволило обеспечить интегрирование без ошибки уже полинома степени 2 k -1, что и для любых других, не полиномиальных подынтегральных функ­ций дает лучшие результаты (т.е. меньшую ошибку). Некоторые значения параметров формулы интегрирования приведены ниже.

,

,

,

.

С учетом преобразования переменной формула интегрирова­ния методом Гаусса будет выглядеть так:

Следует отметить, что в этих методах вследствие неравномер­ного шага интегрирования нельзя оценить погрешность интегри­рования двойным просчетом. Для этой цели применяются другие достаточно сложные алгоритмы.

 

Пример.

Рассмотрим задачу, аналогичную ранее рассмотренной в этом разделе. Для сокращения решим ее только для всего интерва­ла сразу, не разбивая на участки.

Примем k = 4.

Вспоминая, что и , соответственно будем иметь .

Для метода Чебышева получим:

;

Для метода Гаусса получим:

;

Если сравнить полученные результаты с аналогичными для других методов при интегрировании всего участка сразу, то можно убедиться, что последние методы обладают более высокой точностью, хотя и требуют более сложных вычислений.