Теоретические сведения. На основании опытных данных было определено, что для большего количества материалов при достаточно малых растяжениях их удлинение пропорционально силе:

 

На основании опытных данных было определено, что для большего количества материалов при достаточно малых растяжениях их удлинение пропорционально силе:

,

где F – сила, приложенная к телу; – удлинение тела; k – коэффициент упругости, зависящий (при неизменных внешних условиях) от свойств материала и геометрических характеристик деформируемого тела. На рис. 1, а показана зависимость удлинения тела от силы, приложенной к этому телу.

Можно найти связь коэффициента упругости k с геометрическими параметрами и упругими свойствами материала следующим путем.

1. Удлинение тела, обусловленное приложенной силой, пропорционально его первоначальной длине: ~ . Эту зависимость можно проверить, если взять два одинаковых бруска, скрепить их торцами и приложить растягивающие силы к их свободным концам. Тогда на каждый из брусков будет действовать одна и та же сила, которая вызовет удлинение , а общее удлинение будет равно 2 . Исходя из этого, можно заключить, что

F ~ .

а	б
Рис. 1

2. Удлинение зависит также от площади нормального сечения бруска. Действительно, если взять два одинаковых бруска и скрепить их параллельно, то удлинение будет в два раза меньше при одной и той же растягивающей силе. Это может быть выражено как

F ~ ,

где S – площадь нормального сечения бруска.

Из зависимости между действующей на брусок силой, его удлинением и площадью нормального сечения, можно получить выражение, которое называется законом Гука:

, (1)

где k = ; Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга) бруска, который был впервые введен Томасом Юнгом. Модуль Юнга Е является упругой постоянной материала, характеризующей жесткость материала при растяжении (сжатии).

Относительная линейная деформация бруска равна

. (2)

В нормальном сечении бруска при растяжении (сжатии) возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади сечения

. (3)

Из равенства (1) получаем

. (4)

 

Используя выражения (2) и (3), из (4) находим, что

. (5)

Выражение (5) является законом Гука в современной формулировке. Из него следует, что продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормальному напряжению

.

Томас Юнг указал, что закон Гука справедлив только в пределах упругих деформаций материала. На рис. 1, б представлена зависимость относительной линейной деформации бруска от нормального напряжения. Тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс характеризует модуль упругости материала

.

Значение модуля продольной упругости материала можно найти также из выражения (5)

В данной работе модуль Юнга определяется по величине прогиба балки. Для этого необходимо найти зависимость стрелы прогиба балки от модуля Юнга, геометрических параметров балки и нагрузки.

Рассмотрим изгиб балки прямоугольного сечения под действием силы, приложенной к центру балки (рис. 2). Внутренние силы, обусловленные взаимодействием частиц (атомов и молекул), сохраняют форму и целостность тела. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, т.е. деформировать это тело. При этом возникают дополнительные внутренние силы, препятствующие этой деформации.

Рис. 2

 

Обозначим стороны прямоугольника, лежащие в сечении, через а и b, длину балки - (рис. 2).

Пусть до деформации элемент балки имел форму прямоугольного параллелепипеда. Мысленно проведем два близких нормальных сечения, т.е. вырежем малый элемент АА¢ ВВ¢, длину которого обозначим . В результате изгиба элемента АА¢ ВВ¢ все прямые, параллельные АА¢ и ВВ¢, перейдут в дуги окружностей с центрами, лежащими на оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка (рис. 3).

Рис. 3

 

При малых деформациях слои, лежащие выше линии NN¢, сжимаются, а слои, лежащие ниже линии NN¢, удлиняются. При этом длина нейтральной линии NN¢ остается неизменной. Пусть R – радиус кривизны нейтральной линии. Тогда , где a - угол, выраженный в радианах.

Рассмотрим слой балки, находящийся ниже линии NN¢ и имеющий толщину d (d< < R). Длина рассматриваемого слоя , а изменение длины .

Используя выражение (4), можно записать

,

где D F – внутренняя сила, действующая на площадь DS нормального сечения рассматриваемого слоя.

Напряжение, обусловленное внутренней силы, равно:

Предположим, что при изгибе все нормальные сечения остаются плоскими (гипотеза Бернулли). Сумма напряжений, созданных внутренними силами и действующих на плоскость нормального сечения, равна нулю:

,

где интеграл берется по площади нормального сечения S. Это является результатом того, что слои, лежащие выше нейтральной линии, сжимаются, а слои, лежащие ниже этой линии, удлиняются. Таким образом, напряжения выше и ниже нейтральной линии имеют разные знаки.

Рассечем балку плоскостью AB, перпендикулярной нейтральной линии NN'. Установим систему координат X ₁ Y ₁ Z ₁так, чтобы ее начало совпадало с центром тяжести C нормального сечения (рис. 4). Ось X ₁проходит через нейтральную линию NN¢, а ось Y ₁направлена вниз. Рассмотрим внутренние силовые факторы, действующие на эту отсеченную часть балки со стороны отброшенной ее части.

Рис. 4

 

Изгибающий момент M_{x 1} , созданный внутренними силами относительно оси X ₁, равен

, (6)

где - момент инерции сечения относительно оси X ₁:

. (7)

Выберем систему координат XYZ такую, чтобы ось ОZ была направлена вдоль нейтральной линии NN¢, а ось OY – перпендикулярно оси ОZ (рис. 5). Поместим начало координат в точку O, расположенную над левой опорой. Тогда уравнение для нейтральной линии изогнутой балки представится в виде у = у(z). Причем верхняя и нижняя линии балки смещены, соответственно, вверх и вниз на b/2 от нейтральной линии.

Воспользуемся формулой для радиуса кривизны нейтральной линии

,

где и .

Рис. 5

При малом изгибе < < 1, пренебрегая у ¢ и используя (6), получим

.

Определим стрелу прогиба балки l, равную максимальному значению функции у = у(z) при z = /2.

Если к середине балки приложить силу P (весом балки пренебрегаем - рис. 5), то вследствие симметрии сила P распределяется между опорами поровну и силы реакций опор будут равны N₁ = N₂ = P/ 2.

Верхняя линия балки описывается кривой, найденной для нейтральной линии у = у(z). Проведем мысленно сечение AB, параллельное оси OY и проходящее через произвольную точку С нейтральной линии с координатой z (z < /2). На левую часть балки приложена сила реакции опоры N ₁= P /2 и результирующая внутренних сил Q _y, действующая со стороны правой части балки. Поскольку левая часть балки неподвижна, то сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю:

N ₁ + Q _y = P /2 + Q _y = 0.

Сила реакции опоры N ₁ создает изгибающий момент относительно оси CX ₁, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку С:

.

В состоянии равновесия сумма всех моментов, созданных как внешними, так и внутренними силами, равна нулю:

.

Отсюда

. (8)

Ось OY направлена вниз, т.е. в сторону выпуклости балки (у'' > 0). Интегрируя (8) и учитывая, что y¢ = 0 при и y = 0 при z = 0, находим

.

Полагая и принимая во внимание (7), определим стрелу прогиба l

.

Отсюда выражаем модуль Юнга

, (9)

где P = mg – вес груза.

По формуле (9) рассчитывается модуль Юнга.