ВЕРОЯТНОСТЬПри неоднократном измерении одной и той же величины x результаты отдельных измерений х 1, х 2... х n будут неодинаковы из-за наличия случайных ошибок. В курсе математической статистики доказывается, что наилучшей оценкой истинного значения А измеряемой величины х является ее среднее арифметическое значение: , (2) где n – число измерений; - результат отдельного измерения величины А. Ошибка нам тоже неизвестна, поэтому имеется какая-то вероятность того, что истинное значение А лежит в некоторых пределах вблизи . Важно найти эти пределы или интервал, в пределах которого с заданной вероятностью обнаружится значение определяемой величины А. Для этого выбирают некоторую вероятность α, близкую к 1, и определяют для нее интервал от до , в котором бы находилось значение определяемой величины. Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность α - доверительной вероятностью, - доверительная граница общей погрешности измерений. Поясним смысл терминов: доверительная граница общей погрешности и доверительная вероятность α. Для этого используем числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины – (рис.1). Отложим от справа и слева. Полученный числовой интервал от до называется доверительным интервалом.
Рис. 1
Результаты ряда измерений можно наглядно представить в виде диаграммы, которая показывает, как часто получаются те или иные значения. Такая диаграмма называется гистограммой. Чтобы построить гистограмму, надо весь диапазон измеренных значений от x min до х max разбить на равные интервалы (рис. 2) и подсчитать относительную частоту Δ n / n попаданий результатов измерения в каждый интервал (n – число всех измерений, Δ n – число измерений, попадающих в данный интервал).
Если увеличивать число измерений, ступенчатая кривая будет приближаться к гладкой кривой, которая называется кривой распределения случайной величины x i. Величина f (x), пропорциональна доле числа отсчетов Δ n / n, попадающей в каждый интервал. Она называется плотностью вероятности. Смысл плотности вероятности заключается в том, что произведение f (x) dx дает долю полного числа отсчетов n, приходящуюся на интервал от x до x + dx или, иначе говоря, вероятность того, что результат любого отдельного измерения х i будет иметь значение, лежащее в указанном интервале. Эта вероятность численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции Δ S. Вся площадь под кривой распределения определяется как произведение вероятности попадания измеренного значения на всю числовую ось х и равна 1, т.е. , где Р (х) – функция распределения случайной величины х. Математически закон распределения случайной величины х выражается законом Гаусса (нормальный закон распределения) и имеет вид f (x)= (3) где f (x) – функция плотности вероятности; е – основание натурального логарифма; х – результат очередного измерения; А – истинное значение измеряемой величины; 2 – дисперсия, которая определяется по формуле . Поскольку дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, а это не всегда удобно, то вводится средняя квадратичная ошибка , которая представляет собой положительный квадратный корень из дисперсии: . Если средняя квадратичная ошибка неизвестна, то вместо нее используют величину S () - среднее квадратичное отклонение среднего результата. . (4) Как видно из выражения (3), функция плотности вероятности для распределения Гаусса является функцией двух параметров – А и σ. Распределение Гаусса симметрично относительно А (или ), его ширина пропорциональна σ (рис.4). Чем точнее измерения, тем плотнее вблизи среднего значения лежат результаты отдельных измерений, т.е. величина σ меньше. С уменьшением σ фигура, образуемая кривой распределения, сужается и вытягивается вверх. При этом площади под кривыми распределения будут равны между собой, т.к. вероятность попадания случайной величины на всю числовую ось равна 1. С увеличением числа измерений S () стремится к средней квадратичной ошибке
увеличения числа измерений. Существование этого предела обусловлено наличием систематических ошибок, которые в действительности всегда существуют и не изменяются при увеличении числа измерений. Поэтому обычно производят небольшое (5-6) число измерений. Задаваясь определенной доверительной вероятностью α, можно определить отношение доверительной границы случайной погрешности ε к среднему квадратичному отклонению S (), т.е. найти Отношение называется коэффициентом Стьюдента, который не зависит от среднего квадратичного отклонения, а зависит лишь от выбора доверительной вероятности и числа измерений n. Это позволило Стьюденту составить таблицу значений коэффициентов (табл.).
|