Системы с одной степенью свободы

Дифференциальное уравнение движение получим, используя статический метод.

 

Р(t) – приложенная нагрузка

R= ry - восстанавливающая сила

у - перемещение, отсчитываемое от положения статического равновесия (в котором Р= mg уравновешивается реакцией балки .)

r – Коэффициент жесткости, численно равный силе, которую необходимо приложить к балке, чтобы сообщить статическое перемещение, равное единице.

Согласно принципу Даламбера, систему можно рассматривать в состоянии равновесия, если к внешним силам добавить силы инерции.

- сила инерции, направленная в сторону,

противоположную ускорению.

; , (1)

где (2)

При P(t)=0 имеем свободные, или собственные колебания, которые совершает система, выведенная из положения равновесия в результате взаимодействия с каким-либо другим физическим телом после прекращения взаимодействия.

Решим уравнение (1). Решение ищем в виде

 

1. Сила сопротивления R, или восстанавливающая сила, пропорциональна отклонению массы и всегда направлена в сторону статического равновесия.

2. Сила инерции всегда направлена в сторону противоположную ускорению.

При переходе стержня из положения равновесия в крайнее положение движение происходит замедленно и силы инерции направлены о т линии равновесия; при обратном движении последнее происходит ускоренно, поэтому силы инерции опять будут направлены в сторону от линии равновесия.

Следовательно, силы инерции всегда направлены в сторону от линии статического равновесия.

Характеристическое уравнение

(паре комплексно сопряженных корней соответствуют решения cos и sin ).

Решение уравнения имеет вид:

y(t)= A cos + B sin (3)

Пример: определить

Лекция №20

Колебания систем с n степенями свободы.

Дифференциальные уравнения движения.

Рассмотрим невесомую балку с сосредоточенными массами, находящуюся под действием вынуждающей нагрузки Р(t).

 

 

Согласно принципу Даламбера систему можно рассматривать в состоянии равновесия, если к внешним силам добавить силы инерции .

Обозначим (1)и запишем выражение для прогиба каждой массы, который получается от действия всех сил. Ограничимся написанием одного уравнения, положив, что i=1, …n

(2)

С учетом (1) уравнение (2) принимает вид:

(3)

Где

Система дифференциальных уравнений (3) описывает вынужденные колебания системы с n степенямисвободы.

Свободные колебания. Вывод векового уравнения для определения частот

собственных колебаний.

Дифференциальные уравнения движения свободных колебаний получим из (3), полагая , для случая n=3 (три степени свободы).

(4)

- перемещение массы i от силы Р=1, приложенной к массе j, определяемые по формуле Мора.

Решение (4) представим в виде (5),

Решением уравнения является sin()

Рассмотрим одно из частных решений (5)

,

которые подставим в (4), сократив на sin() и опустив индекс с i.

(6)

Система однородных линейных алгебраических уравнений (6) имеет два вида решений:

1) - тривиальное решение, при котором колебаний не происходит

2) (не все амплитуды одновременно равны нулю)

Это возможно лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при равен нулю. Введем обозначение и запишем определитель:

=0 (7)

Уравнение (7) впервые было получено в астрологии. Характеристические числа в нем, представляющие собой квадраты периодов движения планет, измеряются весьма большими числами- векам, поэтому данные уравнения получили название векового уравнения.

Раскрывая определитель, получаем уравнение 3-ей (n-ой) степени и при его решении n значений частот. В теории колебаний доказывается, что решением (7) всегда являются только положительные числа.

Совокупность всех частот называется спектром частот, первая низшая частота называется основной.

Каждому значению соответствует свой вектор , то есть своя форма колебаний,

а их совокупность образует матрицу векторов: у =