Лекция №16

 

 

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

 

Матричный метод перемещений позволяет составить расчетный алгоритм вплоть до получения усилий во всех элементах рассчитываемой системы и поручить все вычисления ЭВМ. Но для этого вначале необходимо вручную составить исходные матрицы A, k и векторы P, S₀. Для сложных систем эта работа довольно трудоемкая.

В методе конечных элементов также получается разрешающая система уравнений KZ = P, но матрица жесткости K вычисляется не по известной формуле K = AkA^T, а путем суммирования матриц внешней жесткости отдельных элементов K_э, т.е. , где , а после определения перемещений Z усилия вычисляются поэлементно по формуле , где вектор усилий S_э, матрица усилий и вектор перемещений Z_э относятся к элементу.

Такой подход позволяет один раз получить матрицы жесткости типовых элементов, произвольно расположенных в пространстве, составить алгоритм расчета и программу, по которой ЭВМ выполнит всю работу по вычислению элементов матриц K_э, их суммированию, т.е. составлению ансамбля элементов. Название метода отражает его главную идею – представление конструкции как совокупности отдельных конечных элементов, соединенных между собой в узлах, в которых приложены внешние силы.

На плоскости типовые конечные элементы могут быть только трех типов:

- шарнирно-стержневой элемент,

- балочный защемленный элемент,

- балочный комбинированный элемент.

Любую, самую сложную конструкцию на плоскости можно представить как совокупность названных элементов. Следовательно, задача состоит в построении матриц жесткости K _э для трех типовых элементов.

Отметим одну принципиальную особенность. В ММП рамных систем, как и в методе перемещений, осевыми деформациями стержней пренебрегают. В основной системе закрепляют узлы от поворотов и вводят связи, препятствующие линейным перемещениям узлов соответствующей шарнирной схемы. В МКЭ этого сделать принципиально невозможно, т.к. при произвольном перемещении концов балочного элемента обязательно возникают осевые деформации. Следовательно, в основной системе МКЭ следует закреплять каждый узел как от угловых, так и от линейных перемещений, соответственно увеличивается число неизвестных перемещений. Поэтому результаты расчета по ММП и МКЭ в общем случае не должны совпадать, хотя для реальных конструкций, состоящих из элементов с большой осевой жесткостью, и должны быть близки.

При построении матриц жесткости стержневых элементов в МКЭ, как и в ММП, удовлетворяются уравнения равновесия (матрица А), физические уравнения (матрица k), уравнения неразрывности (матрица В = А^Т), поэтому перемещения узлов системы, найденные из разрешающей системы уравнений KZ = P будут точно отражать поле перемещений. Так же точно находятся деформации и усилия в элементах. Следовательно, МКЭ является точным методом расчета стержневых систем, естественно, в пределах точности гипотез, лежащих в основе расчета стержневых систем.

Точно такой же путь решения задач строительной механики в МКЭ для систем из пластин, оболочек, объемных элементов. Конечными элементами для таких систем служат плоские треугольные, прямоугольные, изопараметрические (с криволинейными краями) элементы, либо объемные – тетраэдры, параллелепипеды с разным числом узловых точек. При вычислении матриц жесткости континуальных элементов не удается получить точные решения, поэтому МКЭ для континуальных систем является приближенным методом. Повышение точности решения при расчете континуальных систем достигается за счет более мелкого разбиения конструкции на элементы или за счет применения элементов более высокой точности.

В последнее время появились пакеты МКЭ, упрощающие систему моделирования задач до предела. К примеру, программа COSMOS/DesignSTAR, ориентированная больше на машиностроительные расчеты, допускает введение чертежа конструкции в виде любого CAD-файла, затем, имея в библиотеке всего один элемент в виде тетраэдра, дает запрос – как разбить конструкцию на элементы – грубо или мелко? После выбора расчетчиком степени разбивки на элементы и задания нагрузок все остальное машина делает автоматически.

В пособиях [14], [6] обсуждались вопросы рациональной нумерации узлов конструкции для сокращения объема требуемой памяти машины. Здесь мы делать этого не будем, т.к. современные программные комплексы даже на машинах средней мощности позволяют решать большие задачи. Так программа COSMOSM 2.5 на машинах с оперативной памятью 64 МБ позволяет вести расчет систем, имеющих до 1млн узлов или элементов.

Приведем сравнительную таблицу алгоритмов ММП и МКЭ.

 

ММП

МКЭ

1.Строятся вручную исходные матрицы A, k, векторы P, S0. 2.Вычисляются матрица усилий kAT, матрица жесткости K = AkAT конструкции. 3.Решается система уравнений KZ=P, находится вектор Z. 4. Определяются расчетные усилия S = kATZ. 5.Добавляются усилия от внеузловой нагрузки Sок = S + S0.

1. Вводятся в машину координаты узлов Xi, Yi. Задаются элементы по соответствующим узлам и их жесткости F, E, I, внешние воздействия (нагрузки, температурные, осадки опор). 2. Машина по стандартному алгоритму вычисляет матрицы усилий (kAT)э, матрицы жесткости всех элементов Kэ = (AkAT)э и записывает их на жесткий диск компьютера. 3. Составляется матрица жесткости конструкции . 4. Решается система KZ = P. 5. Находятся усилия во всех элементах Sэ = (kAT)эZэ. 6. Добавляются усилия от внеузловой нагрузки Sэ, ок = Sэ + S0, э.