Суб’єктивна ймовірність

У свідомості багатьох поняття ймовірності ототожнюється з частотою.

Розглянемо деякий експеримент, у якому спостерігається випадкова подія А. повторимо експеримент n разів. Нехай k_n(A) – число експериментів, у яких спостерігалась подія А.

Частотою події А називається відношення

v_n(A) = k_n(A) / n. (8.32)

Частота може бути обчислена лише після проведення серії експериментів.

Досвід показав, що у багатьох випадках у разі збільшення кількості експериментів частота виявляє властивість стійкості, і за великих n її значення мало відрізняється від деякого фіксованого числа р. це число і розглядається як імовірність події А.

Такий підхід до визначення ймовірності є емпіричними, і взагалі, не є строгим означенням імовірності. Проте колосальний практичний досвід у ситуаціях, де є повторюваність, показав його придатність. Крім того, використовуючи вже строге (аксіоматичне) означення ймовірності, вдалось показати прямування у певному розумінні частоти до ймовірності.

Оцінка ймовірності, що базується на поведінці людей, не суперечить строгому означенню ймовірності. Щоб показати це, нагадаємо найпростіший випадок аксіоматичного запровадження ймовірності.

Розглядається ймовірнісний експеримент, що має скінченну кількість наслідків:

ω ₁,....., ω _N.

Вони тримали назву елементарних подій. Результатом експерименту обов’язково буде один і лише один з перелічених наслідків.

Сукупність елементарних подій називається простором елементарних подій і позначається Ω.

Випадковою подією називається будь-яке об’єднання елементарних подій. Іншими словами, випадкова подій – будь-яка підмножина простору елементарних подій. Це ілюструє рис. 8.2.

Імовірностями елементарних подій ω ₁,....., ω _N називаються числа р₁,...., р_N, що задовольняють таким умовам:

1. р_і ≥ 0,

2. р₁ + р₂ +.... + р_N = 1.

Імовірністю Р(А) події А називається сума ймовірностей елементарних подій, які складають подію А, тобто

Р(А) = ∑ р_і. (8.33)

ω _і А

Запроваджена таким чином імовірність має такі властивості:

1) 0 ≤ Р(А) ≤ 1,

2) Р(Ω) = 1,

3) якщо А та В – несумісні події (А∩ В = Ø), то

Р(АUB) = Р(А) + Р(В). (8.34)

Рис. 8.2. Елементарні та випадкові події

 

Розглянутий випадок аксіоматики є простим (скінчена кількість елементарних випадків). Запровадження та використання аксіоматики у випадку нескінченного та незчисленного числа елементарних випадків вимагає глибшого використання теорії множин. Проте принцип залишається тим самим: імовірність – це спеціальна функція від підмножин простору елементарних подій.

У означенні ймовірність немає жодного слова про частоту. Отже, частотне трактування ймовірності можливе (і, навіть, дуже бажане), проте формальна аксіоматика не забороняє використовувати і інші тлумачення ймовірності. Будь-що можна назвати ймовірністю, якщо воно відповідає формальним вимогам аксіоматики.

Аксіоми рівноімовірності:

І аксіома: для особи, що приймає рішення, рішення А та В є еквівалентними.

ІІ аксіома: рішення С привабливіше порівняно з D тоді і лише тоді, коли k > k₁.

Аксіоми І та ІІ дають підставу вважати, що в уяві особи, яка приймає рішення, події ω ₁,....., ω _N мають «однакову вагу».

Основна процедура визначення суб’єктивних імовірностей:

Розглядається подія Е. Якщо вона спостерігатиметься, то особа, що приймає рішення, отримує певний виграш, якщо ні, - то не отримує. Розглядається лотерея L(0, E, W), у якій особа отримує виграш W, якщо трапляється подія Е, та нічого – у протилежному випадку.

Є базисний експеримент з N наслідками (або лотерея з N квитками), які особа вважає рівноімовірними. «Щасливими» у лотереї є k квитків, тобто кожен квиток дає виграш, який збігається з виграшем при події Е.

За лотереєю з k виграшними квитками залишимо позначення L(k).

Якщо особа, що приймає рішення, виявляє байдужість лотерей L(k), та у виборі поміж L(0, E, W), то число k/N = P(E) називається суб’єктивною ймовірністю події Е.

Це означення можна сформулювати дещо у загальнішому вигляді. Поряд з лотереєю L(0, E, W) розглядатимемо просту лотерею L(0, р, W).

Якщо лотереї L(0, E, W) та L(0, р, W) еквівалентні з точки зору особи, що приймає рішення, то число р = Р(Е) називається суб’єктивною ймовірністю події Е.

Практично перше означення еквівалентне другому, якщо N досить велике.

Виявляється, що незважаючи на «суб’єктивний» характер запроваджених позначень числа Р(Е) можуть узгоджуватися з аксіомами теорії ймовірності.

Очевидно, що 0 ≤ Р(Е) ≤ 1. Це випливає безпосередньо з означень. Крім цього, якщо Р(Е) = 0, то це означає, що особа, яка приймає рішення, вважає подію Е неможливою, якщо ж Р(Е) = 1 Р(Е), то достовірною.

Розглянемо дві несумісні події Е₁ та Е₂. Кожна з них полягає у тому, що особі дістається виграш у розмірі W. Якщо події не відбуваються, то виграш відсутній. За допомогою базисною лотереї L(0, р, W) можна визначитиймовірності Р(Е₁) та Р(Е₂). Нас цікавитиме подія Е, яка полягає у тому, що відбудеться хоча б одна з подій Е₁ та Е₂, а також зв’язок імовірності цієї події з імовірностями Р(Е₁) та Р(Е₂).

Як бачимо, подія Е є сумою подій Е₁ та Е₂, тобто, Е = Е₁ U Е₂.

За другим означенням суб’єктивної ймовірності

L(0, E₁, W) ~ L(0, Р(E₁), W),

L(0, E₂, W) ~ L(0, Р(E₂), W). (8.35)

Спробуємо, знаючи ймовірності подій Р(Е₁) та Р(Е₂), визначити ймовірність Р(Е) = Р(Е₁ U Е₂). Дляцього розглянемо лотерею L(0, E, W). Знову ж, користуючись означенням суб’єктивної ймовірності, маємо

L(0, E, W) ~ L(0, Р(E), W). (8.36)

Проаналізуємо зв’язок між лотереєю L(0, E, W) та L(0, E₁, W), L(0, E₂, W)

Користуючись тим, що згідно з припущенням

Е = Е₁ U Е₂, Е₁∩ Е₂ = Ø, (8.37)

лотерею L(0, E, W) = L(0, Е₁ U Е₂, W) можна звести до комбінації лотерей L(0, E₁, W) та L(0, E₂, W).

А саме:

1) спочатку розігрується лотерея L(0, E₁, W);

2) якщо на лотерею L(0, E₁, W) випав виграш, то друга лотерея не розігрується, оскільки події E₁ та E₁ несумісні;

3) якщо у лотереї L(0, E₁, W) виграш відсутній, то розігрується друга лотерея L(0, E₂, W).

Користуючись (6.35) та (6.36), лотерею L(0, Р(E), W) можна звести до тієї ж комбінації лотерей L(0, Р(E₁), W) та L(0, Р(E₂), W). Імовірність ж у цих лотереях підпорядковані аксіоматиці ймовірності. Отже,

Р(Е) = Р(Е₁ U Е₂).