Теорія сподіваної корисності

Для задач прийняття рішень за умов невизначеності та ризику принцип оптимальності нерідко будується у виді функції корисності. Оскільки при наявності ризику результати рішень залежать від випадкових величин, то для порівняння їх ефективності необхідно вміти порівнювати функції розподілу ефективності. У цьому випадку важливе значення для прийняття рішень мають результати про властивості функції корисності чи конкретного її виразу, які витікають із того чи іншого набору властивостей співвідношень пріоритетності.

Корисність визначає ступінь задоволення, яке одержує суб'єкт від споживання товару чи виконання будь-якої дії.

Можливо, що найбільш загальний підхід щодо оцінки ступеня (міри) ризику полягає у введенні функції корисності. Концепція функції корисності є одним із важливих елементів будь-якої сучасної економічної теорії. Вона дозволяє здійснити співвимірність споживчих елементів різних товарів.

Корисність включає важливу психологічну компоненту, тому що люди досягають корисності, отримуючи речі, що приносять їм задоволення. В економічному аналізі корисність часто використовується для того, щоб описати пріоритет при ранжуванні наборів споживчих товарів та послуг. Якщо людина більше задоволена від купівлі декількох книжок, ніж від придбання сорочки, то книжки мають для цієї людини більшу корисність, ніж сорочка. Сумірність цінних паперів, котрі також є товаром, на перший погляд, простіше здійснити, оскільки усі вони мають ціну. Але ризиковані цінні папери — це документи, що свідчать про можливість одержання грошей у майбутньому, і тут сумірність проблематична: не можна сказати, котра з величин випадкова, якою буде ефективність (норма доходу) кожного з цінних паперів, більшою чи меншою, а отже, не можна сказати, який з цінних паперів чи який портфель цінних паперів є пріоритетнішим.

Встановлення будь-якої міри ризику є спробою подолати це протиріччя, характеризуючи випадкову величину одним показником (параметром). Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь-які варіанти оцінки випадкової економічної ситуації у виді сподіваного значення такої функції. Природно, що будь-які підходи такого роду є суб'єктивними, але без них не обійтися, якщо намагатися ввести певну єдину міру.

Введемо таке поняття як пріоритет, яке досить часто використовується менеджерами (суб'єктами прийняття рішень).

Позначимо співвідношення «пріоритетніше ніж», «байдуже», «не гірше ніж» відповідно символами , ~, ~.

Нестроге співвідношення пріоритетності «не гірше ніж» є одним з основних найпростіших понять; його записують так:

х ~у (8.1)

де х та у є набором товарів чи послуг (точками простору X ).

Цей запис означає, що певний суб'єкт (споживач) вважає для себе набір х або пріоритетнішим, ніж набір у, або не робить між ними різниці, тобто х не гірше ніж у. Можна визначити поняття байдужості та строгої пріоритетності у термінах нестрогого співвідношення пріоритетності: набори товарів х та у байдужі (еквівалентні) для споживача (х~у) тоді і лише тоді, коли

х ~у та у ~х (8.2)

А коли споживач бажає обрати х, а не у, тобто х пріоритетніше, ніж у (записують х у ), тоді і лише тоді, якщо х не гірше ніж у, а у гірше, ніж х. Значить х у тоді і лише тоді, коли

х ~у, а у ~х — несправедливе. (8.3)

Надалі будемо вважати, що нестроге співвідношення пріоритетності задовольняє дві основні аксіоми.

Перша аксіома стверджує, що це співвідношення є досконалою напівупорядкованістю у просторі товарів X. Співвідношення називається досконалим, якщо для двох заданих наборів х та у з Х справедливе одне з двох співвідношень:

х ~у, або у ~х, або одночасно. (8.4)

Це означає, що у просторі товарів немає таких «білих плям», де пріоритет не існує. Співвідношення називають частковою впорядкованістю, якщо воно транзитивне, тобто для трьох заданих наборів х, у та z. із Х виконується умова:

якщо х ~у та у z, то х z, (8.5)

що виражає сумісність пріоритетів, і, якщо співвідношення рефлексивне, тобто для будь-якого х Х

х ~х. (8.6)

Цей факт випливає з досконалості співвідношення. Нестроге співвідношення пріоритетності є досконалою частковою впорядкованістю простору товарів і означає, що співвідношення байдужості є співвідношенням еквівалентності, котре транзитивне, оскільки при заданих х, у та z X, якщо

х~у та у~z, тоді х~z (8.7)

рефлексивне, оскільки при заданому х Х

х~х, (8.8)

та симетричне, оскільки при заданих х та у X

х~y означає у~х. (8.9)

Для доведення, наприклад, транзитивності зазначимо, що х~у та у~z означає з визначення байдужості, що х ~у та у ~z, і що z ~у та у ~х. Тоді з транзитивності нестрогого співвідношення пріоритетності х ~z та z ~х випливає, що х ~ z.

Співвідношення байдужості, як співвідношення еквівалентності, ділить простір товарів Х на класи еквівалентності — підмножини, що попарно не перетинаються, називаються множинами байдужості, кожна з яких складається з усіх наборів, байдужих заданому наборові х:

І ={уєХ\у~ х}. (8.10)

Друга основна аксіома стверджує, що нестроге співвідношення пріоритетності неперервне, тобто пріоритетні множини, кожна з яких складається з усіх наборів, що є пріоритетніші чи байдужі заданому наборові х:

у X\у ~x} (8.11)

і непріоритетні множини, кожна з яких складається з усіх таких наборів, для котрих заданий набір х пріоритетніший чи байдужий

NР ={у X\x ~y} (8.12)

є замкнутою множиною простору товарів для будь-якого х є X. За цією аксіомою обидві множини містять усі граничні точки, причому для обох множин ці точки утворюють множину байдужості І , рівну перетинові Р NР .

З цих основних аксіом досконалої нестрогої впорядкованості та неперервності випливає, що існує неперервна дійсна функція, визначена на елементах множини X- U(•), котру називають функцією корисності і для якої

U(х) U(у), якщо х ~у (8.13)

Функція корисності зіставляє кожному наборові споживчих товарів певне число в такий спосіб, що, якщо набір А пріоритетніший, ніж набір В (А В), то число, яке відповідає набору А, буде більшим, ніж те, що відповідає набору В.