Гранична корисністьвимірює додаткове задоволення, яке одержує особа від споживання додаткової кількості товару

Інформація про невизначеність та ризик істотно коригує наші уявлення щодо ефективності рішень та проектів. Розглянуті показники (математичне сподівання, дисперсія, коефіцієнт варіації прибутку, коефіцієнт Бета, лінія ринкової рівноваги) дають певну уяву про трансформацію системи цінностей за умов ризику. Проте взяті відокремлено вони можуть дати лише грубу оцінку ризику, створити досить грубий фільтр для відсіву неприйнятних варіантів. Глибший аналіз можливий із застосування наукової теорії.

Основи теорії заклав Дж.Ф. Нейман разом з О. Моргенштерном. Істотний розвиток вона дістала у низці серйозних робіт, зокрема здійснених Л. Севіджем. Теорія отримала назву «Теорія сподіваної корисності». Головне її завдання: дати оцінку ефективності (корисності) тієї чи іншої дії людини, підприємця, урядовця за умов ризику.

Зосередимося на найпростішій ризикованій операції, яка має два результати (у грошовому вираженні) х та у, причому у - сприятливіший результат, ніж х. Тобто у > х.

Надалі у називатимемо прибутком, а х – збитком (хоча у може бути і від’ємною величиною, тобто збитком, або х – додатною, тобто прибутком). У результаті ризикованої операції може трапитись один і лише один випадок: або х, або у. Також вважатимемо, що імовірність сприятливішого результату становить величину р, а менш сприятливого – (1 – р). Маємо типову просту лотерею ( L(х, р, у)) – гра (ситуація), у якій особа може отримати один і лише один з двох виграшів х або у відповідно з імовірностями 1 – р та р.

Розглянемо прості випадки, коли очевидна більша привабливість однієї з двох лотерей L₁ = L(х₁, р₁, у₁) та L₂ = L(x₂, р₂, у₂).

Сформулюємо два правила:

1. Якщо х₁ = х₂, у₁ = у₂ і р₁ > р₂ то лотерея L₁ – привабливіша, ніж L₂. Іншими словами, якщо прибутки та збитки у двох ризикованих операціях однакові, то привабливішою є операція, у якій імовірність прибутку більша.

2. Якщо х₁≥ х₂, у₁≥ у₂ і р₁ ≥ р₂, то лотерея L₁ не гірша за лотерею L₂. Якщо ж хоча б одна з нерівностей виконується як строга, то лотерея L₁краща від L₂. Або з двох ризикованих операцій краща та, у якій прибуток вищий, збиток менший, а імовірність прибутку більша.

У двох наведених правилах сформульований важливий принцип домінування.

Кожна людина інтуїтивно може визначити для себе детермінований еквівалент будь-якої простої лотереї, тобто суму, гарантоване отримання якої було б еквівалентним участі у лотереї.

Звідси важливий наслідок: для порівняння простих лотерей (рішень, які мають два результати з певним ймовірностями) досить визначити детерміновані еквіваленти цих лотерей. Чим більший детермінований еквівалент, тим привабливіша лотерея.

Вимір корисності за Нейманом – Моргенштерном базується певною мірою на оберненій задачі знаходження детермінованого еквівалента. А саме – потрібно знайти імовірність, за якої участь у певній простій лотереї була б еквівалентною гарантованому отриманню певної суми. Виявляється, що ця задача дає ключ до вирішення однієї з найважливіших проблем економічної теорії, і зокрема теорії економічного ризику, а саме – до визначення чисельної (кардинальної) корисності.

Дж.Ф. Нейман та О. Моргенштерн запропонували вишуканий прийом, який дозволяє вимірювати чисельне значення корисності. Ним можна користуватися для кількісного вимірювання корисності споживання сосисок та відвідання театру, кількісно ран жувати естетичну насолоду (або відразу) від хітів зірок шоу – бізнесу, чисельно оцінювати ефект від споживання наборів благ, ступеня бажаності проживання у певній місцевості та багато іншого. З точки зору теорії ризику, корисність за Нейманом важлива для порівняння ризикованих операцій (рішень).

Розглядається ряд подій А, В, С,... Певна особа здатна проран жувати їх за ступенем привабливості для себе. Нехай Х – наймеш приваблива, Y- найбільш приваблива.

Корисністю за Нейманом – Моргенштерном події А називається імовірність и (А), за якої лотерея L(X, U(A), Y) була б еквівалентною події А, яка здійснюється напевно.

Запропонований Джоном фон Нейманом та Оскаром Моргенштерном метод вимірювання кардинальної корисності базується на припущеннях та гіпотезах, які були зроблені у неявній формі. У явній формі їх можна сформулювати так.

Гіпотеза (про ординальну вимірність): з кожної пари подій людина може визначити привабливішу для себе або встановити, що ці події еквівалентні для неї.

Підкреслимо, що йдеться про ординальну вимірність подій з точки зору прямої корисності. Гіпотеза не стверджує, що людина спроможна оцінити непряму корисність події чи набору благ. Наприклад, працівник підприємства може оцінити для себе ступень бажаності зміни своїх доходів. Проте дуже проблематичним для нього є оцінка ступеня бажаності придбання нового устаткування для підприємства, яке може зумовити зміну його доходів. Лише фахівці з технології виробництва, маркетингу та менеджменту можуть підказати йому, яким чином нове устаткування вплине на його доходи.

Гіпотеза (про кардинальну вимірність): для кожної події (набору благ) А людина може вказати корисність за Нейманом – Моргенштерном на певній шкалі [Х, Y], де Х – менш бажана подія порівняно з А, Y – більш бажана подія.

Користуючись «лотерейною» термінологією, можна сказати, що для будь - якої А людина може підшукати імовірність и (А) таким чином, що А буде детермінованим еквівалентом лотереї L(X, U(A), Y).

Корисність за Нейманом – Моргенштерном дає конструктивний засіб визначати корисність грошових сум (прибуток, доход, додаток до існуючого багатства тощо). Нехай х – додаток до існуючого багатства деякого індивіда, [Х, Y] – шкала, на якій вимірюється корисність величини х(Х≤ х ≤ Y). Тоді корисністю величини х називається імовірність U (х), за якої х є детермінованим еквівалентом лотереї L(X, U (x), Y). Якщо через – позначити відношення еквівалентності, то означення корисності багатства можна записати стисліше, а саме: U (х) - корисність величини х, якщо

х ~ L(X, U (x), Y). (8.14)

Користуючись означенням (6.1), можна експериментально визначити U (x) для достатньої кількості точок і зобразити графічно функцію корисності.

Зазначимо тут же прості і очевидні властивості функції корисності багатства:

1. 0 ≤ U (х) ≤ 1, причому u (Х) = 0, U (Y) = 1.

2. Функція корисності є зростаючою функцією, тобто, якщо х > y, то U(x) > U(y).

Розглянемо дві випадкові події А та В, а також третю подію, яка полягає у тому, що відбудеться або подія А або подія В. Така подія називається сумою подій А та В і позначається як А U В. Нехай відомі ймовірності подій А та В. Чи можна щось сказати про імовірність їх суми? Виявляється, існує тісний зв’язок між імовірністю того, що відбудеться або подія А, або подія В, та імовірністю того, що одночасно відбудеться і подія А, і подія В.

Сумою подій А та В називається третя подія С, яка полягає у тому, що відбувається або подія А, або подія В. Позначається: С = АUВ.

Добутком подій А та В називається подія С, яка полягає у тому, що одночасно відбувається і подія А, і подія В. Позначається: С = А∩ В.

Теорія імовірностей дає нам таку формулу суми імовірностей:

Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А∩ В). (8.15)

Події називаються несумісними, якщо їх добуток є неможливою подією.

Імовірність неможливої події дорівнює нулю. Звідси формула (8.15) для несумісних подій набуває вигляду

Р(А U В) = Р(А) + Р(В). (8.16)

Події А та В називаються незалежними, якщо імовірність їх добутку збігається з добутком їх імовірностей,

Р(А ∩ В) = Р(А) Р(В) (8.17)

Формули (6.15) та (6.16) називаються формулами додавання ймовірностей, формула (6.17) – формулою множення ймовірностей.

Під складеною лотереєю розуміється ризиковане рішення, яке має декілька наслідків, кожен з яких трапляється один і лише один раз з певною ймовірністю.

Складену лотерею позначатимемо як

L(x₁,...., x_N, p_1, ,...., p_N),

де х₁,...., х_N - наслідки лотереї;

р₁,...., р_N - імовірності наслідків.

Безпосередньо з означення випливає, що

N

∑ p_s = p₁ +...+ p_N = 1. (8.18)

_S=1

Важливою задачею теорії ризику є порівняння ефективності складених

лотерей.

Вважатимемо, що нам відома функція корисності для особи, яка приймає рішення. Крім того, для спрощення викладу розглянемо випадок, коли наслідки лотереї х₁,..., х_N мають грошове вираження. Нехай, наприклад, це варіанти прибутків, які є наслідками ризикованого рішення. Ніщо не заважає нам впорядкувати варіанти прибутків таким чином, щоб