Цифрова фільтрація в часовій та просторовій областях

Рис. 9.1 Модель аналогового фільтру типу „вхід-вихід”

Відомо, що для аналогового лінійного фільтру (рис. 9.1), за умови обмеженості енергій сигналу на його вході та його відгуку на дельта-сигнал (що в термінах математичних моделей їх означає інтегрованість з квадратом функцій, якими сигнал та відгук адекватно моделюються) існує таке співвідношення між лапласівськими образами вихідного і вхідного сиґналів:

 

, (9.1)

 

де H (s), — функція передачі фільтру, . З властивості добутку лапласівських образів [1, табл. 2.2] випливає, що

 

, (9.2)

 

де — обернене перетворення Лапласа від функції передачі фільтру, або (у фізичній інтерпретації) відгук фільтру на - подібний сигнал (рис. 9.2). У виразі (9.2) інтеграл за означенням є оператором згортки; інше його позначення — x (t)* h (t).

У виразах (9.1, 9.2) величини Ω і t є дійсними числами. Їх назви, відповідно, частота і час (одиниці вимірювання — Гц та сек.). Проте, в томографії, вони можуть бути величинами просторовими — наприклад, просторовою частотою та віддаллю (одиниці вимірювання 1/м та м).

Рис. 9.2 Відгук фільтра на - подібний сигнал

Рис. 9.3 Залежність чутливості h оптичного пристрою від кута падіння променів Θ

Одним з прикладів застосування згортки є математичне моделювання процесу обробки зображення деяким оптичним пристроєм, залежність чутливості якого від кута падіння променів має вигляд, зображений на рис. 9.3 (тоді відповідні одиниці вимірювання аргументів у виразах (9.1, 9.2) будуть, наприклад, 1/радіан та радіан). Якщо таким пристроєм сканувати зображення, то вихідне зображення буде результатом згортки вхідного зображення з функцією чутливості оптичного пристрою (тоді згортка є оптичною низькочастотною фільтрацією зображення, наприклад, перед його дискретизацією). В комп’ютерному томоґрафі також застосовується подібна обробка, наприклад, при „оцифровуванні” проекційних даних перед їх аналогово-цифровим перетворенням — АЦП, (analog-digital conversion — ADC, англ.).

Для цифрової обробки значення дискретних сигналів кодують двійковим кодом, наприклад, з фіксованою точкою, типу знак-модуль або доповнюючим (комплементарним). Якщо сигнали цифрові, то вираз згортки аналоґічно до виразу (9.2) набуває вигляду:

 

, , (9.3)

 

де значком ˆ позначено факти кодування дискретних значень вхідного сигналу x, імпульсної функції h, та результату обчислень за формулою (9.3) над цими кодами при скінченній кількості М значень імпульсної характеристики. При цьому виникає похибка цифрової обробки внаслідок кодування:

 

,

 

де — період дискретизації. Імпульсна характеристика завжди скінченна, оскільки, починаючи з деякого n всі значення її представляються бітом молодшого розряду її двійкового коду. Крім того, обмежений об’єм пам’яті та потрібна швидкодія обчислень згортки також впливають на величину М.

Аналогічно до виразу (9.2) одновимірної згортки можна записати формулу згортки і для двовимірних зображень:

 

(9.4)

 

та її цифровий варіант

 

, (9.5)

 

де .