Використання згортки для реконструкції

Метод –фільтрації базується на теоремі про центральний переріз (див. розділи 3 та 4), як і метод зворотнього проектування згорткою, але відрізняється від останнього тим, що операції згортки і зворотнього проектування проводяться в іншому порядку — спочатку обчислюється зворотня проекція за формулою

 

, (9.6)

 

а потім виконується двовимірна просторова згортка

 

, (9.7)

де

(9.8)

є ядром — фільтра.

Фільтрація двовимірною згорткою (9.7) в просторовій області вимагає значних затрат пам’яті та часу обчислень. Якщо перейти в просторово-частотну область шляхом двовимірного перетворення Фур’є, то ефективність алгоритму фільтрації значно зростає, проте дещо знижується точність реконструкції.

Основним недоліком алґоритму – фільтрації двовимірною згорткою є те, що для отримання зображення розміром N × N для уникнення крайових ефектів (коливань Гібса), розмір сумарної зворотньої проекції повинен бути принаймні (N+M)× (N+M), для імпульсної характеристики фільтра згорткирозміром M × M [4].

Для реалізації двовимірної згортки в просторовій області необхідно використовувати спеціалізовані процесори, оскільки при використанні стандартних обчислювальних засобів час обчислення настільки великий, що це перевищує допустимі для портабельного (portability — пересувний), клінічного томоґрафа значення. Сумарна кількість операцій множення для отримання зображення одного січення тоді пропорційна . Так для зображення розміром 512× 512 елементів при використанні комп’ютера з процесором з тактовою частотою всього 500 МГц час обчислень для одного перерізу буде становити від 15 хв. до однієї години, тоді як використання спеціалізованого процесора ШПФ, уможливлює виконання реконструкції за (1-5) с.

За методом реконструкції „згортка і зворотне проектування” спочатку виконується фільтрація радонівського образу і лише потім — зворотне проектування. Тому згортка в цьому алґоритмі одновимірна:

 

, (9.9)

 

і кількість операцій для одного січення пропорційна (N згорток довжиною N відліків). Це дозволяє отримувати зображення навіть при програмній реалізації на стандартних комп’ютерах за долі секунди. Крім того, досягається значна економія пам’яті, оскільки для згортки використовуються лише одновимірні масиви довжиною N відліків, а не двовимірні, (N× N) відліків, як в алґоритмі – фільтрації.