Пример решения задачи № 1. (Выписывается текст задания – см

 

(Выписывается текст задания – см. п. 8.1).

Решение: рама (рис. 8.4, а) имеет четыре участка. На каждом участке в произвольном поперечном сечении указываем пространственную систему координат Oxyz: оси Ох и Оу совмещаем с главными центральными осями поперечного сечения, а ось Oz – с осью стержня. (Систему Oxyz называют скользящей: при перемещении ее вдоль оси стержня с одного участка на другой (с поворотом в узловой точке) оси системы Oxyz каждого участка могут быть совмещены с соответствующими им осями соседнего участка).

Положение произвольного сечения каждого участка задаем координатой z_i, отсчитываемой от начала участка со стороны свободного (незаделанного) конца рамы.

а

Р 1 = 8 кН; q = 12 кН/м; ℓ;1 = 0,6 м; ℓ;2 = 0,8 м; ℓ;3 = ℓ;4 = 0,5 м; h / b = 0,5

Рисунок 8.4 – Расчетная схема рамы и эпюры М_х, М_у, М_к

Составляем аналитические выражения изгибающих и крутящих моментов для каждого участка:

Участок I (CD) Участок II (BC)

Участок III (BK) Участок IV (AB)

 

(Правило знаков для изгибающих моментов то же, что при построении эпюр для балок. При этом взор должен быть направлен к началу координат со стороны оси х, если записывается аналитическое выражение для , и со стороны оси у, если – для Крутящий момент М_к считаем положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он направлен против хода часовой стрелки).

Вычисляя значения моментов по концам каждого стержня, строим эпюры , , (см. рис. 8.4, б, в, г).

Участки I, III находятся в условиях прямого изгиба. В их сечениях возникает по одному изгибающему моменту: и соответственно (рис. 8.5, а, б).

 

Рисунок 8.5 – Схемы к анализу напряженных состояний в опасных точках

 

Определяем необходимые диаметры сечений по условиям проч-ности:

; ,

откуда

;

.

Принимаем: мм, мм.

Тогда

;

Имеем недонапряжение:

.

Аналогично

Перенапряжение:

В опасном сечении участка II возникают изгибающий
( кНм) и крутящий ( = 2,16 кНм) моменты.

Эпюры распределения нормальных и касательных напряжений показаны на рис. 8.5, в. Опасными точками являются точки А и В, так как в них и нормальные и касательные напряжения достигают наибольших значений:

Эквивалентное напряжение по гипотезе наибольших касательных напряжений (третья гипотеза прочности)

Определяем размер сечения по условию прочности:

.

Принимаем а = 63 мм.

Тогда

Перенапряжение:

.

При подборе не квадратного, а, например, кольцевого сечения последовательность расчета будет иной:

– эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности:

;

– осевой момент сопротивления кольцевого сечения (при
k = d / D = 0,5):

.

.

Принимаем: D = 75 мм, d = 38 мм, k = 38 / 75 = 0,507.

Тогда

Недонапряжение:

.

Опасным сечением АВ (IV) является сечение заделки, в котором возникают моменты:

 

Эпюры распределения нормальных и касательных напряжений представлены на рис. 8.5, г.

Влияние поперечных сил при подборе размеров поперечного сечения учитывать не будем.

Наиболее напряжённой (опасной) точкой сечения может оказаться одна из точек: А, В, С. Определим расчетные напряжения в этих точках.

В точке А напряженное состояние – линейное (одноосное):

 

В точке В напряженное состояние – плоское (частный случай, характерный для изгиба с кручением). При этом

 

В точке С напряженное состояние – плоское, аналогичное напряженному состоянию точки В:

 

Сопоставление найденных значений расчетных напряжений показывает, что опасной точкой сечения является точка В.

По условию прочности

, или

имеем:

Принимаем: h = 53 мм; b = 2 h = 106 мм.

Проверим прочность на участке АВ (IV) с учетом влияния поперечных сил:

Для найденных размеров сечения

 

Для точки А

 

Для точки В

 

Так как направления и совпадают, то полное касательное напряжение в точке В равно:

Эквивалентное напряжение в точке В (по третьей гипотезе прочности):

Перенапряжение составляет:

.

В точке С касательное напряжение от поперечной силы направлено навстречу напряжению , поэтому результирующее напряжение . Однако в противоположной точке сечения (т. С') названные касательные напряжения совпадают по направлению:

 

где

Нормальное напряжение в точке :

 

Эквивалентное напряжение:

 

.

Проверочный расчет подтверждает обоснованность пренебрежения влиянием поперечных сил при подборе размеров поперечного сечения в рассматриваемом случае.

Участок АВ, имеющий прямоугольное поперечное сечение, находится в условиях косого изгиба и кручения.

Определим положение нейтральной оси опасного сечения при косом изгибе.

Предварительно, выполнив графическое построение (рис. 8.6), находим положение силовой линии сечения. Из этого построения следует, что < 0, и поэтому

,

откуда .

Определяем угол () отклонения нейтральной оси сечения от главной центральной оси х:

 

.

 

М_х = 1,44 кНм; М_у = 8 кНм; a = 79,8^о; j = 54,3^о

 

 

Рисунок 8.6 – Определение нейтральной оси опасного сечения участка АВ

 

 

Нейтральная ось (см. рис. 8.6) делит поперечное сечение на две зоны, отличающиеся знаком нормальных напряжений (зоны растяжения и сжатия продольных волокон бруса).