Комплексных корней характеристического уравненияВ этом случае матрица оператора не приводится к диагональному виду, так как у оператора нет собственного базиса. Пусть ( и – действительные векторы) – собственный вектор с собственным значением в пространстве над полем комплексных чисел. Линейная оболочка векторов и является инвариантным двумерным подпространством оператора , т.е. из условия . В базисе матрица ограничения оператора на подпространстве имеет вид . Если характеристическое уравнение оператора не содержит кратных корней, то матрица оператора в каноническом базисе имеет блочно диагональный вид, где на главной диагонали стоят действительные собственные значения оператора, а также блоки вида , соответствующие каждой паре сопряженных комплексных корней . Задача 3. Найти канонический базис и матрицу оператора в этом базисе для оператора, заданного матрицей . Решение. Найдем собственные значения. Собственный вектор с собственным значением удовлетворяет системе: Выберем Собственный вектор с собственным значением найдем, решив систему: Например . Следовательно , где . Ответ: . З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Найти канонический базис и матрицу оператора в этом базисе для операторов, заданных следующими матрицами. 3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. . 3.5. .
|