Матрица перехода

Пусть и - два базиса в пространстве и – разложение векторов базиса { f } по базису . Коэффициенты этого разложения определяют матрицу = , которая называется матрицей перехода от базиса к базису . Оператор, переводящий базис в базис , называется оператором перехода.

Матрицы и , составленные из координат векторов базисов и в некотором фиксированном базисе, связаны с матрицей перехода соотношением: или .

Задача 1(1). Найти матрицу перехода от базиса к базису , если .

Решение. Так как , то сначала найдем . ,

Задача 1(2). Найти матрицу перехода от базиса к базису , если

Решение. В столбцах матрицы перехода стоят коэффициенты разложения бинома по степеням . Следовательно

.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти матрицу перехода от базиса к базису .

1.1. . 1.2. . 1.3. .

1.4. . 1.5. .

Как изменится матрица перехода от базиса к базису , если:

2.1. Поменять местами два вектора базиса .

2.2. Поменять местами два вектора базиса .

2.3. Записать векторы базиса в обратном порядке.

2.4. Записать векторы базиса в обратном порядке.

2.5. Записать векторы базисов и в обратном порядке.

Изменение координат вектора и коэффициентов линейной формы

Пусть и – вектор-столбцы из координат вектора в базисах и соответственно. Тогда и , т.е. . Из этого следует что , или .

Если и - «старые» (в базисе ) и «новые» (в базисе ) коэффициенты линейной формы , то значение линейной формы на векторе задается произведениями в базисе и в базисе . Отсюда следует равенство: , или .

Задача 3(1). Вектор и векторы базиса заданы координатами в некотором фиксированном базисе: . Найти координаты вектора в базисе .

Решение. Столбец координат вектора в базисе удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений , или подробнее, . Решив эту систему, получим .

Замечание. Если надо найти координаты нескольких векторов в одном и том же базисе , то проще сначала вычислить матрицу , а затем применить формулу .

Задача 3(2). Вектор и векторы базиса заданы координатами в некотором фиксированном базисе: , , , ; Найти координаты вектора в базисе .

Решение. Координаты вектора в базисе – это коэффициенты разложения многочлена по степеням , т.е. коэффициенты Тейлора . Вычислив все , получим разложение: .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Вектор и векторы базиса заданы координатами в некотором фиксированном базисе. Найти координаты вектора в базисе .

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

Задача 4. Найти коэффициенты линейной формы в базисе , если .

Решение. Коэффициенты линейной формы в базисе определяются из равенства , т.е. .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти коэффициенты линейной формы в базисе .

4.1. , , .

4.2. , , , .

4.3. , , , .

4.4. , , , , .