Собственные векторы и собственные значения оператора

Пусть – линейный оператор, переводящий пространство в себя. Ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству , называется собственным вектором оператора , а число - соответствующим ему собственным значением. В произвольном базисе столбец координат собственного вектора является ненулевым решением СЛАУ Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда . Собственные значения являются корнями этого уравнения, которое называется характеристическим уравнением матрицы . Характеристическое уравнение не меняется при смене базиса, т.е. зависит только от оператора . Коэффициенты этого уравнения являются инвариантами матрицы оператора .

Задача 1(1). Найти собственные векторы оператора , заданного матрицей .

Решение. Составим характеристическое уравнение . . Корни этого уравнения являются собственными значениями оператора .

Решим СЛАУ для каждого собственного значения. При СЛАУ эквивалентна уравнению с общим решением . При получим уравнение с общим решением

Ответ: .

Задача 1(2). Найти собственные векторы оператора , заданного матрицей .

Решение. Корни характеристического уравнения комплексные , поэтому действительных собственных векторов нет.

Задача 1(3). Найти собственные векторы оператора , заданного матрицей .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Все собственные значения оператора равны 1.

СЛАУ при эквивалентна уравнению с общим решением . Эти решения образуют подпространство размерности 2, состоящее из собственных векторов с собственным значением 1 (собственное подпространство).

Ответ: .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти собственные векторы операторов, заданных следующими матрицами:

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .