Формулы дифференцирования

1. (u ^a(x))' = a u ^a-1(x) u '(x), в частности,

(1 /u (x)) ' = -u' (x) /u ²(x), () ' = u' (x) / 2 ;

2. (log_a u (x))' = (u'(x)log_ae)/u(x) при 0<a≠1, u(x)>0, в частности, (ln u (x))' = u'(x)/ u (x);

3. (a ^{u (x)})' = a ^{u (x)}ln a u '(x) при 0<a≠1, в частности, (e ^{u (x)})' = u'(x)e ^{u (x)};

4. (sin u (x))' = cos u (x) u '(x);

5. (cos u (x))' = -sin u (x) u '(x);

6. (tg u (x))' = u '(x)/cos² u (x) x≠ p/2+p n, n=0,+-1,...;

7. (ctg u (x))' = - u '(x)/sin² u (x) x≠ p n, n=0,+-1,...;

8. (arcsin u (x))' = u '(x)/ , -1< u (x)<1;

9. (arccos u (x))' = - u '(x)/ , -1< u (x)<1;

10. (arctg u (x))' = u '(x)/(1+ u ²(x));

11. (arcctg u (x))' = - u '(x)/(1+ u ²(x)).

Введем гиперболические функции:

sh x = (1 / 2)(e^x-e^-x)- гиперболический синус;

ch x = (1 / 2)(e^x+e^x)- гиперболический косинус;

th x = sh x/ ch x -гиперболический тангенс;

cth x = ch x/ sh x - гиперболический котангенс.

Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных.

1. (sh x) ' = ch x;

2. (ch x) ' = sh x;

3. (th x) ' = 1 / ch² x;

4. (cth x) ' = - 1 / sh² x.

Пример1. Найти y', если

1. y(x) = x³arcsin x.

2. y(x) = ln sin (x²+1).

y' = (2 x cos(x ²+1)) / sin(x ²+1) = 2 x ctg (x ²+1)

Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.