Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t₀. За период от t₀ до t₀+∆ t количество продукции изменится от u(t₀) до u₀+∆ u = u(t₀+∆ t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = ∆ u/∆ t, поэтому производительность труда в момент t₀

z = lim_{∆ t → 0}∆ u/ ∆ t.

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

lim_{∆ x → 0}∆ y/ ∆ x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

∆ y = sin(x+ ∆ x)-sin x = 2sin(∆ x/ 2) cos (x+ ∆ x/ 2).

По определению производной

(sin x) ' = lim_{∆ x → 0}∆ y/ ∆ x

= lim_{∆ x → 0} (cos (x+ ∆ x/ 2)(sin ∆ x/ 2) / (∆ x/ 2)) = cos x,

так как

lim_{∆ x → 0}cos (x+ ∆ x/ 2) = cos x.

Таким образом,

(sin x) ' = cos x.

Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

lim_{∆ x → 0+0}∆ y/ ∆ x

lim_{∆ x → 0-0}∆ y/ ∆ x,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) (f'(x-0)). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим ∆ y = 3(0+∆ x)+1-1=3∆ x при ∆ x>0. При ∆ x<0 ∆ y = -3(0+∆ x)+1-1=-3∆ x, значит,

lim_{∆ x → 0-0}∆ y/ ∆ x =- 3, lim_{∆ x → 0+0}∆ y/ ∆ x x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.