Дифференцируемость функции

Определение 1 (дифференцируемость в точке). Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение ∆ y этой функции в точке x представимо в виде

∆ y =A ∆ x + ά(∆ x) ∆ x,

(1)

где A - некоторое число, не зависящее от ∆ x, а lim_{∆ x→ 0} ά (∆x) = 0.

В дальнейшем будем считать, что ά (0) = 0. В этом случае функция a(x) будет непрерывной в точке ∆ x = 0. Равенство 1 можно переписать иначе, так как функции ά (∆x), ∆x - бесконечно малые в точке ∆x = 0 и их произведение тоже бесконечно малая функция, поэтому

∆ y =A ∆ x +o (∆ x).

(2)

Справедлива теорема

Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема, тогда ее приращение представимо в виде (1). Поделив (1) на ∆ x≠ 0 получим

∆ y/ ∆ x = A+ ά(∆ x).

Переходя к пределу в последнем выражении при ∆ x→ 0, получим, что A=f'(x).

Достаточность. Пусть существует конечная производная f'(x), то есть существует конечный предел

lim_{∆ x→ 0} ∆ y/ ∆ x = f' (x).

Обозначим a(∆ x) = ∆ y/ ∆ x-f'(x). Отсюда вытекает представление (1).

Пример 1. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0.

Решение. Найдем приращение функции в точке x = 0:

∆ y = | ∆ x|

Поэтому

lim_{∆ x→ -0} ∆ y/ ∆ x = - 1, lim_{∆ x→+ 0} ∆ y/ ∆ x = 1,

следовательно, функция |x| в точке x = 0 не дифференцируема.

Следующая теорема выражает связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

Теорема 2 (дифференцируемость и непрерывность). Если
функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что lim_{∆ x→ 0} ∆ y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.

Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 1.

Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.