Производные высших порядков

Пусть функция у = f(х) определена и имеет производную первого порядка в интервале . Введем обозначение . Если функция имеет производную в точке , то ее производная называется производной второго порядка (или коротко второй производной) функции в точке . Итак,

.

Вторая производная функции у = f(х) обозначается символами

.

Может оказаться, что вторая производная также имеет производную в точке : .

Тогда говорят о существовании производной третьего порядка, которая обозначается символами .

Предположим, что таким образом определена производная - го порядка .

Определение 4. Производная - го порядка ( - ая производная) функции у = f(х) называется производная от производной () - го порядка, если она существует в точке . Производную - го порядка функции у = f(х) обозначают символами:

.

В соответствии с этим обозначением - производная функции определяется равенством

Пример. Функция имеет в каждой точке производную . Функция также в каждой точке имеет производную . Функция в каждой точке имеет производную Функция имеет в каждой точке производную Все другие следующие производные также равны 0.

Итак,

Производные высших порядков имеют широкое применение. Так, если описывает закон движения материальной точки, то его первая производная определяет величину мгновенной скорости, а вторая производная равна скорости изменения скорости, то есть ускорению в момент .