Нахождение арифметического корня натуральной степени с заданной точностью.

Пусть требуется найти с точностью ε значение , где a>0, m – натуральное.

Известен следующий рекуррентный (итерационный) процесс нахождения членов последовательности t₀, t₁, t₂, …, где

, n = 0, 1, 2, …. (6)

При этом оказывается [4], что полученная последовательность сходится при любом t₀ >0 к точному значению и при том достаточно быстро.

Удобно в качестве t₀ брать значение с одной верной значащей цифрой, которую легко найти подбором.

Итерационный процесс нахождения очередного приближения к величине корня прекращается, как только выполнится неравенство . При этом с точностью ε;.

Пример 5. Найти с точностью ε = 0,000001 (или ε = 10^-6).

Решение. Здесь a = 1,25, ε = 10^-6. Пусть t₀ = 1,1 (т.к. 1,1²≈1,25). Из формулы (6) при m = 2 имеем:

, n = 0, 1, 2, ….

Значит . Так как требуется найти значение корня с точностью ε = 10^-6, т.е. с шестью верными значащими цифрами после запятой, при вычислении t₁ количество цифр после запятой берем с запасом (например, семь цифр).

Аналогично вычисляем t₂ = 1,1180339…; . Продолжаем итерационный процесс: t₃ = 1,1180339…. Итак, на третьем шаге (итерации) результат в требуемых знаках (шесть цифр после запятой) повторился, т. е. .

Значит, с точностью 10^-6.