Цилиндр

Пусть и - параллельные плоскости, - окружность в плоскости (рис. 1). Через каждую точку этой окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости .

рис 1

Отрезки таких прямых, заключенные между плоскостями и , образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности (на рис. 1 изображены образующие АА₁, ММ₁ и др.).

По построению концы образующих, расположенные в плоскости , заполняют окружность . Концы же образующих, расположенные в плоскости , заполняют окружность , где - точка, в которой пересекается с плоскостью пря­мая, проходящая через точку О

рис.2

перпендикулярно к плоскости .

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами и , называется цилиндром (рис.2).Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги — основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются обра­зующими цилиндра, прямая ОО₁ — осью цилиндра. Все обра­зующие цилиндра параллельны и равны (как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями и ). Длина образующей называется высотой цилиндра, радиус основания — радиусом цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. На рисунке 3 изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания — вращением сторон ВС и AD.

рис. 3

Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (рис. 4), две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

Формулы.

Обозначения:

— объем;

— площадь полной поверхности;
— площадь боковой поверхности;
— образующая конуса;
— радиус;
— диаметр;
— высота;

– полная поверхность;

– размеры прямoугольного параллелепипеда;

– апофема правильной пирамиды и правильной усечённой пирамиды

Цилиндр

 

Конус

Усеченный конус

Шар

Призма (прямая и наклонная) и параллелепипед:

Прямая призма:

Прямоугольный параллелепипед: ;

Куб: ; .

Пирамида (правильная и неправильная): ;

Правильная пирамида: