Параграф 4. Функция распределения

 

Функцией распределения случайной величины называется функция, выражающая для каждого возможного значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее его возможного значения:

Свойства функции распределения:

Свойство 1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

Доказательство.

Так как функция распределения выражает вероятность, то по 4 свойству вероятности:

Свойство доказано.

Свойство 2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

Доказательство.

Пусть и точки числовой оси, причем . Рассмотрим два несовместимых события и . Тогда .

Так как вероятность , то , т.е. неубывающая функция.

Свойство доказано.

Свойство доказано.

Свойство 3. Вероятность попадания случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы и равны приращению их функции на этом интервале:

Доказательство.

Используя формулу из 2 свойства функции распределения:

Доказательство.

Свойство доказано.

Свойство 4. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу от до , то:

Доказательство.

Событие невозможно, следовательно, по 2 свойству вероятности его вероятность равна нулю. Событие достоверно, следовательно, по 1 свойству вероятности, его вероятность равна единице.

Свойство доказано.