Определители второго и третьего порядков

Определителем второго порядка называется число D₂, вычисляемое по формуле D₂= = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ и равное разности произведений элементов главной диагонали (a₁₁ и a₂₂) и элементов побочной диагонали (a₁₂ и a₂₁). Формально определитель записывается квадратной таблицей чисел (или функций). Вычисление определителей третьего и более высоких порядков - уже не так просто, как D₂. Так, для определителя третьего порядка D₃= , покажем два новых понятия, справедливых для определителей любого порядка:

1. Минором определителя называется определитель на единицу меньшего порядка, получаемый из данного вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент а_ij. Так, для D₃:

М₁₁= ; М₂₃= и т.д.

2. Алгебраическим дополнением или адъюнктом Аd_ij называется произведение минора М_ij на (-1)^i+j, т.е. Аd_ij=(-1)^i+j М_ij. Здесь i – номер строки, j – номер столбца, где расположен элемент a_ij. Так, для определителя D₃:

Аd₁₁=(-1)¹⁺¹ = ; Аd₂₃=(-1)²⁺³ = - и т.д.

После введения этих понятий, можно указать общее правило вычисления определителей: определитель n -го порядка равен сумме произведений элементов любого ряда (т.е. любых строки или столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. разлагается по элементам строки или столбца:

D₃= а₁₁ Аd₁₁+ а₁₂ Аd₁₂+ а₁₃ Аd₁₃= а₁₂ Аd₁₂+ а₂₂ Аd₂₂+ а₃₂ Аd₃₂= а₃₁ Аd₃₁+ а₃₂ Аd₃₂+ а₃₃ Аd₃₃=... и т.д.

Совершенно аналогично вычисляются определители 4-го и более высоких порядков. Но их миноры - уже увеличиваются до третьего и выше порядков. Это влечет за собой резкое возрастание количества арифметических операций. Поэтому на практике редко просчитываются определители порядка выше четвертого.

Отметим, что определитель первого порядка D₁ - не интересен, т.к. это - просто число: D₁= = а₁₁, поэтому отдельно не рассматривается. Формально с их помощью можно записать общее выражение для D₂, но это явно не нужно.