Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
Що з названого є об’єктом сумісної власності подружжя!Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 752
Определение 1. Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n ( ); Определение 2. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если ( ). Все перечисленные последовательности носят название монотонных. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными. Рассмотрим некоторые примеры. 1. Последовательность , , , …, , … возрастает и ограничена. 2. Последовательность 1, 1, 2, 2, …, n, n, … неубывающая и неограниченная. 3. Последовательность , , , …, , …убывающая и ограниченная. Можно показать справедливость следующей теоремы. Теорема 1. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет предел. Рассмотрим последовательность и попытаемся применить к ней эту теорему. Используя формулу бинома Ньютона, запишем в виде . Если перейти от к , то есть увеличить n на единицу, то в предыдущем разложении добавится новый, -й положительный член, а каждое из слагаемых в разложении увеличится, так как любой множитель в скобках вида заменится большим множителем вида . Отсюда следует, что , то есть последовательность монотонно возрастает. Покажем, что эта последовательность ограничена сверху. Опустив в разложении все множители в скобках, мы увеличим выражение, так как каждая из скобок меньше единицы. Следовательно, (так как при ). Но прогрессия имеет сумму , следовательно, . Условия теоремы 1 выполнены; отсюда следует существование конечного предела последовательности . Этот предел обозначают буквой e. Это число играет исключительно важную роль в математике и ее приложениях. Доказывается, что является иррациональным числом. |