IV. Точечные оценки.

Пример 1. Контрольные обмеры диаметров болтов дали следующие результаты: 2,31; 2,28; 2,29; 2,28; 2,32; 2,28; 2,32; 2,29; 2,31; 2,32.

Найти точечные оценки для диаметра болта и его дисперсии в контролируемом процессе производства.

.

Пример2.

Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона

,

неизвестным является параметр . Используя указанные выше методы получения точечных оценок, найти по выборке значение неизвестного параметра .

Решение.

Решим задачу двумя методами.

 

1 Метод моментов

В формуле подсчитаем и , используя заданную выборку:

.

.

Из равенства получаем , т.е. .

2 Метод максимального подобия

Составим функцию правдоподобия:

Исследуем функцию одной переменой на экстремум.

Необходимым условием экстремума является =0 или

.

, . Следовательно, - критическая точка.

Достаточным условием экстремума является знак второй производной в критической точке:

.

.

Следовательно, значение является максимальным значением функции , отсюда понятно название метода максимального правдоподобия.

Ответ: .

Пример 3.

Известно, что случайная величина имеет биноминальное распределение

,

неизвестным является параметр . Используя методы получения точечных оценок, найти по реализации выборки значение неизвестного параметра .

Решение.

Пусть выборка будет, что и в предыдущей задаче. Решим поставленную задачу двумя способами.

1 Метод моментов

В формуле вычислим правую и левую части, используя условие задачи: выборка .

.

Подставляя в формулу , получим , .