Основне рiвняння квантової механiки – рiвняння Шредiнгера

Рiвняння, що описує рух мiкрочастинки, повинне вiдтворювати її хвильовi властивостi, тобто повинне бути подiбним до хвильового рiвняння, що описує розповсюд­ження оптичних або акустичних хвиль (див. рівняння (3.58) в першому томі):

. (9.8)

Ми можемо мiркувати таким чином: якщо мiкро­частинка, яка рухається, має хвильовi властивостi i може бути охарактеризована довжиною хвилi, то її стан можна описати за допомогою деякої функцiї Y, яка повинна задовольняти хвильове рiвняння (9.8), тобто:

. (9.9)

Функцiя, що задовольняє хвильове рiвняння, може бути подана у такому виглядi:

Y = y (х) sin w t.

Знайдемо відповідні частиннi похiднi, а саме:

i пiдставимо їх в рiвняння (9.9), що в результатi дає

.

Враховуючи зв’язок мiж частотою і періодом , а також зв’язок мiж довжиною хвилі, швидкістю і періодом T i формулу (9.4) для довжини хвилі де Бройля, вiдношення w ²/ u ² можна подати таким чином:

Тодi рiвняння (9.9) набуває такий вигляд:

(9.10)

де Е_k – кiнетична енергiя частинки. Рiвняння (9.10) описує одновимiрний рух частинки. У випадку, коли частинка рухається в тривимірному просторi, рiвняння (9.10) матиме вигляд:

, (9.11)

або

(9.12)

де – так званий оператор Лапласа, який діє на хвильову функцію і дорівнює сумі всіх других просторових похідних від . Рiвняння (9.12) описує рух вiльної частинки.

Якщо частинка рухається в силовому полi, то її повна енергiя дорiвнює сумi кiнетичної та потенцiальної енергiй: Е = E_k + E_n , звiдки Е_k = Е – Е_n. У цьому випадку рiвняння (9.12) записується таким чином:

(9.13)

Рiвняння (9.13) – стацiонарне рiвняння Шредiнгера, запропоноване ним у 1926 році. Це рiвняння описує пове­дiн­ку електрона в атомi (тобто електрона, що рухається в полi ядра). Хвильова функцiя y (x, y, z), яка є розв’язком рiвняння Шредiнгера, не залежить вiд часу і характеризує стацiонарнi стани системи.

Спiввiдношення мiж y- функцiєю та частинкою, яку вона описує, аналогiчне спiввiдношенню мiж свiтловою хви­лею та фотоном. Квадрат амплiтуди свiтлової хвилi А ² виз­начає ймовiрнiсть попадання фотона у вiдповiдну точку простору. Як показав М. Борн, квадрат амплiтуди хвильової функцiї | y |² характеризує ймовiрнiсть знаходження частин­ки в данiй точцi простору, а | y |² dv – ймовiрнiсть знаход­ження частинки в елементi об’єму dv. Таким чином, фiзич­ний змiст має не сама хвильова функцiя, а її квадрат. Слiд відзначити, що, на вiдмiну вiд оптичних хвиль, y- функцiя характеризує не електромагнiтну хвилю, а хвилю ймовiр­ностi.