Найдем коэффициенты a0 , a1 , a2 ,...

16. Белоконь Н.А., Кубергер М.Б. Болезни сердца и сосудов у детей. В 2-х том.- М.:Медицина, 1987. - 928 с.

17. Белозеров Ю.М. Детская кардиология (наследственные синдромы).-Элита.:ЗАОР «НПП«Джангар».-2008.-400 с.

18. Геппе Н.А. руководство по детской ревматологии// Геппе Н.А., Подчерняява Н.С., Лыскина Г.А. М.: «ГЭОТАР-Медиа».-2011.-720с:ил.

19. Геппе Н.А. Сложный больной в практике педиатра ревматолога//Геппе Н.А., Рябова Т.В. М.: ООО «Медицинское информационное агенство».-2008.-320.-с.:ил

20. Кардиология и ревматология детского возраста /Под ред. Г.А.Самсыгиной и М.Ю.Щербаковой. – М.: ИД Медпрактика. – М., 2004. - 774 с.

21. Коровина Н.А., Гаврюшова Л.П., Творогова Т.М. Вегетативные дистонии у детей /пособие для врачей/ М., 2000. - 62 с.

22. Крючко Т.О., Пеший М.М., Танянська С.М. Дитяча кардіологія (частина ІІ). Навчальний посібник. – Полтава, 2007.- 175с.

23. Леженко Г.О., Волосовець О.П., Кривопустов С.П., Прохоров Є.В., Пашкова О.Є., Подліанова О.І. Синдром недиференційованої дисплазії сполучної тканини у дітей та підлітків (поширеність, особливості діагностики та лікування). Монографія. – Запоріжжя: Видавництво Запорізького державного медичного університету, 2006. – 134 с.

24. Макаров Л.М. Холтеровское мониторирование. М.: Медпрактика. - 2000. - 213 с.

25. Мутафьян О.А. Артериальные гипертензии и гипотензии у детей и подростков. –Спб.: Невский диалект, М.:Издательство БИНОМ, 2002. – 144 с.

26. Мутафьян О.А. Пороки и малые аномалии сердца у детей и подростков / СПб.: Издательский дом СПб МАПО, 2005. – 480 с.

27. Педіатричні аспекти ведення дітей з природженими вадами серця. Навчальний посібник для студентів ВМНЗ IV рівня акредитації та лікарів-інтернів / За ред. О.П. Волосовця, Г.С. Сенаторової, М.О. Гончарь. – Тернопіль: ТДМУ, 2008. – 176 с.

28. Пєший М.М. Дитяча кардіологія /Клінічні лекції/. Полтава. - 2006. – 194 с.

29. Рыбакова М.К., Алехин М.Н., Митьков В.В. Практическое руководство по ультразвуковой диагностике. Эхокардиография. Издание 2-е. ВИДАР, 2008г. -544 с.

30. Середа Ю.В. Электрокардиография в педиатрии: Учебное пособие. Спб.: «Элби-Спб», - 2004. – 101 с.

 

Найдем коэффициенты a0, a1, a2,...

Положим в равенстве (1) , тогда

Продифференцируем ряд (1)

и вновь положим , тогда

Проводя дальнейшее дифференцирование и полагая , по-

лучим следующие равенства

; ;

Таким образом находятся все коэффициенты разложения (1):

(2)

Подставляя найденные коэффициенты (2) в равенство (1) получим

разложение функции в ряд, который называется рядом Тейло-

ра для функции :

(3)

Коэффициенты (2) называются коэффициентами Тейлора функции в

точке a.

Ряд (3), записанный в окрестности нуля, когда назы-

вают рядом Маклорена:

III. Разложение по степеням x функций e^x, , ,(1+ x ) ⁿ, , .

Разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки a рас-

падается на два этапа:

1) вычисляют значения функции и ее производных в точ-

ке a и находят коэффициенты ряда Тейлора (2)

2) определяют интервал, в котором составленный ряд Тейлора схо-

дится к функции .

Найдем разложение в ряд Маклорена следующих элементарных функ-

ций:

 

1) показательная функция e^x.

В точке функция и все ее производные равны 1.

Ряд Маклорена для показательной функции:

(7)

Рассмотрим интервал , где N - любое фикси-

рованное число. Для любого X из этого интервала

Следовательно, все производные в этом интервале ограничены и

Таким образом, ряд (7) сходится к функции

e^x на всей числовой оси .

2) тригонометрические функции и .

Пусть

и т.д.

Любая производная от не превосходит по абсолютной вели-

чине 1, поэтому ряд Маклорена для функции схо-

дится к ней на всей числовой оси:

(8)

Аналогично можно получить разложение , справедливое

на всей числовой оси:

(9)

3) биномиальный ряд - разложение в ряд Маклорена функции

, где m - любое действительное число.

,

,

,

………………………………………………….

 

Тогда

(10)

Найдем область сходимости ряда (10), пользуясь признаком Даламбера

для функциональных рядов:

Таким образом, ряд (10) сходится на интервале к функ-

ции .

4) функция

Запишем ряд Маклорена для функции , пользуясь

равенством (10) и принимая .

(*)

и воспользуемся возможностью интегрирования степенных рядов в облас-

ти их сходимости:

Тогда интегрируя ряд (*), получим разложение в ряд функции

справедливое на интервале :

(11)

5) функция

Запишем ряд для функции , заменяя в равенстве (*)

x на x²:

.и проинтегрируем последнее соотношение:

(12)

Соотношение (12) представляет собой разложение в ряд Маклорена

для функции , сходящееся к ней на интервале

Степенные ряды (7)-(12) можно использовать при разложении в ряд

многих других функций. Например, разложения для гиперболических

функций могут быть получены комбинацией рядов для e^x и e^-x:

 

V. Приложения рядов Тейлора.

Разложения функций в степенные ряды используется при приближен-

ных вычислениях значений функции, при интегрировании функций и реше-

нии дифференциальных уравнений.

1) Пусть нам известны значения функции и ее производных в неко-

торой точке a, и функция в окрестности точки a может разложена в

ряд Тейлора. Тогда точное значение функции в рассматриваемой окрестности можно вычислить по ряду Тейлора, а приближенно ее значение - по частичной сумме этого ряда. Возникающую при этом ошибку оценивают по остаточному члену ряда или непосредственно по остатку ряда. Если получающийся числовой ряд знакочередующийся, то в соответствии с теоремой Лейбница остаток ряда не превосходит величины первого из отбрасываемых членов.

При вычислениях и положительных чисел погрешность

оценивают по величине первого из отброшенных членов. Так

Если требуемая точность вычисления , то пер-

вой формулой можно пользоваться в интервале от 0 до ;

второй - от до ; третьей - от до .

2) интегрирование функций с помощью рядов.

Допустим, что нужно найти интеграл

причем известно разложение функции в ряд Тейлора, а пре-

делы интегрирования лежат внутри интервала сходимости ряда. Тогда мы

имеем право интегрировать ряд почленно. В результате получится ряд

для функции , сходящейся в том же интервале, что и подынтег-

ральная функция.

Если при этом интеграл выражается через элементарную функцию,

то мы сможем получить для нее разложение в ряд Тейлора, как в случа-

ях для и . Если же интеграл не выражается

в элементарных функциях, то найденный ряд служит выражением неэле-

ментарной функции через бесконечную сумму степенных функций, напри-

мер:

 

 

 

Этот ряд не сходится ни к одной элементарной функции, а служит

выражением новой функции, определенной на всей числовой оси.