Дифференциальные зависимости при изгибе

 

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки легко установить определенную зависимость (рис. 5.7).

Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой. Определим поперечную силу в сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянии z. Проецируя на вертикаль силы, расположенные левее сечения, получаем Аналогично, вычислим поперечную силу в смежном сечении, расположенном на расстоянии z+dz от левой опоры

получаем

(5.1)

Т. е. производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

 

 

 

 

 

Рис. 5.7.

 

Вычислим теперь изгибающий момент, в сечении с абсциссой z взяв сумму моментов сил, приложенных слева от сечения. Для этого распределенную нагрузку на участке длиной z заменяем ее равнодействующей, равной qz и приложенной в середине участка, на расстоянии от сечения

Аналогично вычислим изгибающий момент в смежном сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянии z+dz:

(5.2)

 

Вычитая изгибающие моменты в двух сечениях, получаем приращение изгибающего момента

(5.3)

 

Выражение в скобках представляет собой поперечную силу Q. Следовательно,

 

(5.4)

 

откуда

,

Т.е. производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна поперечной cиле.

Взяв производную от обеих частей равенства (5.4), получим

(5.5)