Лабораторная работа №2: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных».

1. Метод хорд.

Образец выполнения задания.

1.Отделить корни графически уточнить один из них методом хорд до 0,001.

tg(0,55x+0,1)=x²

Обозначим у₁= tg(0,55x+0,1) у₂=x²

Составим таблицу значений:

X		0,2	0,4	0,6	0,8
Y2=X2		0,04	0,16	0,36	0,64
0,55x+0,1	0,1	0,21	0,32	0,43	0,54	0,65
Y1	0,100335	0,213142	0,331389	0,458621	0,59943	0,760204

Построим график:

Видим, что хÎ[0,6;0,8].

Чтобы уточнить его методом хорд, определим знаки функции на концах отрезка

[0,6;0,8] и знак её второй производной в этом промежутке:

f (0,6)=tg0,43-0,36=0,0986

f (0,8)=tg0,54-0,64=-0,0406

f’ (x)=0,55/(cos²(0,55x+0,1))-2x

f’’ (x)=0,55×2cos^-3(0,55x+0,1)×sin(0,55x+0,1)×0,55-2<0 при хÎ[0,6;0,8].

f’’ (x)× f (0,8)>0, значит х₀=0,6

Для вычислений используем формулу:

, где b=0,8, x₀=0,6.

Вычисления производим в таблице:

n	xn
	0,60000	-0,14168
	0,74168	-0,0081
	0,74978	-0,00039
	0,75017	-1,9E-05
	0,75019	-8,9E-07

Ответ: х»0,750.

 

2. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом хорд до 0,001.

f (x)=x³-0,2x²+0,5x+1,5

f’ (x)=3x²-0,4x+0,5 D=0,16-6<0

Составим таблицу знаков f (x):

x	-	-1		+
Sign f(x)	-	-	+	+

 

Получаем один действительный корень в промежутке [-1; 0].

Чтобы уточнить его, найдём , в промежутке [-1; 0] ,

f’’ (a)× f (х)>0, значит х₀=b=0.

Вычисления произведём по формуле:

,

где a=-1, х₀=b=0, f (a)= f (-1)-1-0,2-0,5+1,5=-0,2.

Вычисления производим в виде таблицы:

n	xn	xn3	xn2	0,2xn2	0,5xn	f(xn)	f(xn)+0,2	xn-a	h
						1,5	1,7		-0,11765
	-0,88235	-0,68695	0,77855	0,15571	-0,44118	0,21616	0,41616	0,11765	-0,05654
	-0,94346	-0,83979	0,89012	0,17802	-0,47173	0,01045	0,21045	0,05654	-0,05373
	-0,94627	-0,84731	0,89543	0,17909	-0,47313	0,00047	0,20047	0,05373	-0,05361
	-0,94639

Ответ: х»-0,946

 

1. Метод касательных (Ньютона).

, где x₀=a, если f(a)×f’’(x)>0; x0=b, если f(b)×f’’(x)>0 на [a;b].

1-е задание: tg(0,55x+0,1)=x² , где хÎ[0,6;0,8] (см. решение выше).

Так как f(0,6)>0,f(0,8)<0, f’’(x)<0, то за начальное приближение берём х₀=0,8. Вычисления производим по формуле:

f’(0,8)=0,55/(cos²(0,55x+0,1))-2x=-0,8523.

Вычисления производим в виде таблицы:

n	xn		f’ (x)=0,55/(cos2(0,55x+0,1))-2x
	0,8	-0,04057	-0,85238	0,047597
	0,752403	-0,001724	-0,77961	0,002211
	0,750192	0,00000	-0,77619	0,00000

Ответ: х»0,750

 

2-е задание: f (x)=x³-0,2x²+0,5x+1,5 f’(x)=3x²-0,4x+0,5

Так как f(0)>0,f(-1)<0, f’’(x)<0, то за начальное приближение берём х₀=-1.

n	xn	f (x)=x3-0,2x2+0,5x+1,5	f’(x)=3x2-0,4x+0,5
	-1	-0,2	3,9	-0,05128
	-0,94872	-0,008281	3,579684	-0,00231
	-0,9464	-0,00000	3,565608	-0,00000

Ответ: х»-0,946

Самостоятельно: 1) x-sinx=0,25; x³-3x²+9x-8=0

2) tg(0,58x+0,1)=x² ; x³-6x²-8x=0

3) tg(0,4x+0,4)=x²; x³-0,1x²+0,4x-1,5=0

4) lnx-7/(2x+6)=0; x³-3x²+9x+2=0

5) tg(0,5x+0,2)=x² ; x³+0,2x²+0,5x-1,2=0

Лабораторная работа №4: