Вопрос39 Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Критерий Сильвестра

· Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

· Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

· Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

· Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

·

· Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её главные (угловые) миноры положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки чередуются, причём . Здесь главными минорами матрицы называются определители вида

·

·

·

· Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

·

· не является неотрицательно определённой — так как, например, для . В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.