Структура линейного оператора

Образом линейного оператора называется множество всех векторов , для каждого из которых существует вектор такой, что . Образ есть подпространство пространства V. Рангом линейного оператора называется размерность образа этого оператора.

Ядром линейного оператора называется множество всех векторов , которые переводятся в нулевой вектор :

.

Ядро есть подпространство пространства V. Дефектом линейного оператора называется размерность ядра этого оператора.

Справедливо равенство .

Подпространство составлено из образов . Столбцами матрицы А являются координаты векторов . Число линейно независимых столбцов матрицы А есть ранг матрицы, то есть ранг оператора равен рангу матрицы А этого оператора: .

Задание 12. Выяснить, являются ли следующие преобразования линейными операторами. Если являются, то описать их структуру (найти матрицу оператора, образ, ранг, ядро, дефект). Имеет ли оператор обратный оператор. Если имеет, то найти матрицу обратного оператора.

12.1. Преобразование – замена каждого вектора геометрического пространства его зеркальным отображением относительно плоскости .

12.2. Дано линейное пространство векторов . Преобразование состоит в том, что у каждого вектора меняются местами вторая и третья координаты, а первая и четвертая координаты изменяют знак, то есть .

12.3. Пространство геометрических векторов . Вводится преобразование , заключающееся в проектировании вектора на плоскость .

Указание к решению задачи: Преобразование проектирования вектора на плоскость определяется равенством , где – ортогональная проекция вектора на плоскость , причем , – нормальный вектор .

12.4. – пространство многочленов степеней, не превосходящих 5. Преобразование – операция дифференцирования: .

12.5. – пространство геометрических векторов . Вводится преобразование , действующее по правилу векторного произведения

.

12.6. Является ли линейным оператором замена каждого геометрического вектора пространства его зеркальным отображением относительно координатной плоскости и увеличением вдвое второй координаты.

12.7. Дано линейное пространство векторов . Преобразование состоит в том, что у каждого вектора меняются местами первая и четвертая координаты, а вторая и третья координаты увеличиваются втрое .

12.8. – пространство геометрических векторов . Преобразование , заключающееся в проектировании вектора на плоскость . Указание к решению задачи см. 12.3.

12.9. – пространство многочленов степеней, не превосходящих 4. Преобразование – операция дифференцирования: .

12.10. Пусть – пространство геометрических векторов. Вводится преобразование , действующее по правилу векторного произведения векторов: .

12.11. Является ли линейным оператором замена каждого геометрического вектора пространства его зеркальным отображением относительно плоскости и увеличением втрое его первой координаты.

12.12. Дано линейное пространство векторов . Преобразование состоит в том, что у каждого вектора меняются местами первая и третья координаты, а вторая координата увеличивается вдвое, то есть .

12.13. Пусть – пространство геометрических векторов. Преобразование – проектирование вектора на плоскость . Указание к решению задачи см. 12. 3.

12.14. Пусть – пространство геометрических векторов. Вводится преобразование , действующее по правилу векторного произведения векторов .

12.15. Пусть – пространство геометрических векторов . Вводится преобразование , действующее по правилу векторного произведения .

12.16. Пусть – пространство геометрических векторов. Преобразование – проектирование вектора на плоскость . Указание к решению задачи см. 12. 3.

12.17. – пространство геометрических векторов . Преобразование , заключающееся в повороте каждого вектора на некоторый постоянный угол против часовой стрелки.

12.18. – пространство геометрических векторов. Преобразование , действующее по правилу векторного произведения векторов .

12.19. Пусть – пространство геометрических векторов. Преобразование – проектирование вектора на плоскость . Указание к решению задачи см. 12. 3.

12.20. Пусть – пространство геометрических векторов . Вводится преобразование , действующее по правилу векторного произведения .

Задание 13. Выяснить, является ли отображение , переводящее вектор в вектор , линейным оператором. Если является, то найти матрицу этого оператора в стандартном базисе : , , линейного пространства . Описать его структуру (найти образ, ранг, ядро, дефект).

13.1.	.
13.2.	.
13.3.	.
13.4.	.
13.5.	.
13.6.	.
13.7.	.
13.8.	.
13.9.	.
13.10.	.
13.11.	.
13.12.	.
13.13.	.
13.14.	.
13.15.	.
13.16.	.
13.17.	.
13.18.	.
13.19.	.
13.20.	.