Нестационарная задача теплопроводности для неограниченной пластины с граничными условиями 1 и 2 рода.Неограниченная пластина толщиной 2h имеет начальную температуру, равную температуре окружающего воздуха. В начальный момент времени в центре пластины начинает действовать источник постоянной мощности. Основания пластины поддерживаются при постоянной температуре. Математическая запись задачи следующая:
(2.1) (2.2) Для решения задачи используем метод интегральных преобразований Лапласа.
(2.3) При этом дифференциальное уравнение теплопроводности преобразуется к виду: (2.4) Решение задачи (2.1 – 2.2) сводится к решению дифференциального уравнения с начальным и граничными условиями: (2.5) (2.6) Решение уравнения (2.5) имеет вид:
(2.7) Для нахождения констант А и В воспользуемся граничными условиями (2.6). Продифференцируем (2.7):
Подставим в (2.7) полученное значение константы В:
Значение функции на поверхности пластины (х=h)
Так как , то получаем Откуда находим значение константы А:
Подставив полученные значения констант в уравнение (2.7), получим:
(2.8) Обозначим (2.9) (2.10) Осуществляя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал решения:
(2.11)
Найдем корни полинома
Найдем значение ψ’ (s).
(2.12) Тогда
(2.13)
(2.14)
Подставив (2.13) и (2.14) в уравнение (2.11), получим решение для оригинала:
(2.15) Обозначим
Тогда решение задачи представляется в виде:
(2.16)
|