Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.
Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:
а) L(- x)=L(x), R(- x)=R(x);
б) L(0)=R(0).
Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид:

Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть

L(x) = , p³;0;
R(x)= , p³ 0 и т.д.

Пусть L(y) и R(y) - функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. m_A(a)=1) c помощью L(y) и R(y) задается следующим образом:

m_A(x) =

где а - мода; a>0, b>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.
Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, a, b).
Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров А=(а ₁, a ₂, a, b), где а ₁ и a ₂ - границы толерантности, т.е. в промежутке [ а ₁ ,a ₂] значение функции принадлежности равно 1.
Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены ниже.

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также параметры a, b нечетких чисел (а, a, b) и (а ₁, a ₂, a, b) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y) и R(y), а параметры a¢ и b¢ результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.
Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных: