Даны координаты середин сторон треугольника: E(7, 8); F(-4, 5); K(1, -4). Определить координаты вершин треугольника.

 

Решение.

пусть точки A, B и C - вершины треугольника, точка E - середина стороны AB, точка F - середина стороны AC, а K - середина стороны BC. Требуется найти координаты точек A, B и C.

Обозначим через x_A и y_A - координаты вершины A, x_B и y_B - координаты вершины B, x_C и y_C - координаты вершины C.

По формулам

имеем

(1)

(2)

(3)

Подставляя в эти формулы координаты точек E, F и K, мы для определения неизвестных получим следующие уравнения:

а) Уравнения, отмеченные (1), после подстановки в них координат точки E запишутся так:

или

x_A + x_B = 14; y_A + y_B = 16.

б) уравнения, отмеченные (2), если подставить в них координаты точки F, запишутся в виде

или

x_A + x_С = -8; y_A + y_С = 10.

в) Если же в уравнения, отмеченные (3), подставить координаты точки K, то эти уравнения запишутся так:

или

x_B + x_С = 2; y_B + y_С = -8.

Итак, для определения шести неизвестных мы получили такие две системы уравнений:

первая система уравнений	вторая система уравнений

Складывая почленно уравнения первой системы, будем иметь

x_A + x_B + x_A + x_C + x_B + x_C = 8.

После приведения подобных членов и деления обеих частей уравнения на 2 получим

x_A + x_B + x_C = 4. (4)

Так как на основании третьего уравнения первой системы x_B + x_C = 2, то из (4) получаем x_A + 2 = 4, а x_A = 2; используя второе уравнение первой системы x_A + x_C = -8, получим x_B - 8 = 4; x_B = 12; на основании первого уравнения первой системы x_A + x_B = 14, и уравнение (4) примет вид: x_C + 14 = 4, а x_C = -10. Итак, x_A = 2; x_B = 12; x_C = -10. Поступая так же, найдем из второй системы уравнений y_A = 17; y_B = -1; y_C = -7. Вершины треугольника имеют такие координаты: A (2, 17); B (12, -1); C (-10, -7)