Эти члены образуют Пуассоновский ряд .сумма членов которого равна 1.

При: т<1 вероятность максимальна при нулевом числе событий.

1<т<2 вероятность максимальна при появлении одного события.

Для проверки на соответствие пуассоновскому распределению обычно вычисляется каждый член ряда и с помощью χ²- критерия эти члены сравниваются с членами эмпирического ряда.

Для приближенной инженерной прикидки можно использовать проверку с помощью графиков – аналогично тому, как проверка на «нормальность» выполнялась с помощью вероятностной бумаги.

Если не принимать во внимание член е^-т _, выражающий отсутствие событий, то:

Фактическое число ожидаемых интерваловЕ_пвремени (или участков) дляп -го члена определяется выражением:

. (5) или ln E_n= n ln m + ln N – m – ln п!

или ln (E_n∙ n!) =C₁ n + С₂. (6)

где: С₁ – постоянная;С₁ = lnm; C₂ – постоянная, С₂ = (ln N –m).

Ни С₁, ни С₂ не зависят от номера п (номера члена).

Формула 6 – уравнение прямой в отрезках.

Таким образом: если необходимо проверить, является ли данное распределение пуассоновским, то вычислять m (среднее число событий в интервале) не надо. Достаточно умножить наблюдаемое число E_n на каждое значение п! и отложить полученные результаты на логарифмической шкале,а на линейной шкале отложить п.

Если график зависимости Е _п п! от п представляет собой прямую (или близкую к ней), то можно предположить, что рассматриваемый ряд является пуассоновским.

*Эмпирическое распределение –результат наблюдений (форма таблицы чисел, гистограммы, в которой указывается, какое число раз переменная принимала определенные значения.

Пример:В течение 2^х месяцев (60дней) велось наблюдение на перекрестке.

Данные наблюдений

Число ДТП за 1 день (интервал)п						5 и более
Число интервалов, в которых наблюдается п ДТП

 

Предположим: Данные случайные и образуют пуассоновский ряд

Вопрос:Справедливо ли такое предположение для этих данных

Решение:Построим график зависимости E_n∙n! от п.

Проведенные вычисления представим в виде таблицы:

 

n
n!
En
En∙n!

 

Строим график зависимости E_n∙n! от п (рис.13)

Первые 4^е точки вблизи прямой, 5^я – отклонение вверх. Отдельные отсчеты могут иметь отклонения.

Нижние значения (на графике) – наиболее значимые, и свидетельствуют о хорошем соответствии пуассоновскому распределению.

Более строгую проверку проведем с помощью χ²- критерия

Среднее число событий равно т = R / N= 87 / 60 = 1,45,

где: R= 1·22+ 2·14+3·7+4·4 =87

Рис. 13. График зависимости E_n∙n! от п.

Зная т по формуле 5 можно вычислить значения E_n для каждого п.

Получаем: =

Результаты представлены в таблице:

п
En							Σ =60
En*предсказываемое пуассоновским распределением							Σ =60

^*предсказанные значения E_n округлены до ближайшего целого.

=

Число степеней свободы равно 3. На графике χ² = f(число степеней свободы) видно, что вероятность этого (или большего0 значения χ² составляет ~ 0,99.

Т.о. гипотеза о том, что выборки данных относятся к одной и той же совокупности, является почти достоверной.

Итак: Результаты проверки с помощью χ²- критерия соответствуют результатам приближенной графической проверки.

 

Графический анализ данных.