Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике.

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет а, лежащий напротив угла альфа, называется противолежащим (по отношению к углу альфа). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла а, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём. И наоборот: косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого.

Итого: основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые пригодятся при решении задач:

Вывод: зная любые две стороны, мы можем найти третью сторону треугольника.

Если в задаче на прямоугольный треугольник даны две стороны, сразу же находите третью, пригодится однозначно. Зная все три стороны, вы без труда найдёте значение любой тригонометрической функции (и любой угол).

 

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, . Найдите tg A.

Если в условии нет данных о сторонах и углах, а есть только тригонометрические функции, то пользуйтесь формулами:

Сразу видно, что можно использовать формулу:

Остаётся из основного тригонометрического тождества sin²A + cos²A = 1 найти cosA:

Таким образом:

Ответ: 0,25

 

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, . Найдите tg В.

Здесь необходимо найти тангенс другого острого угла. Как быть?

Воспользуемся формулой тангенса:

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, и наоборот, то есть:

Найдём sin B.

Из основного тригонометрического тождества sin²A + cos²A = 1 найдём cos A:

Значит

Таким образом:

Ответ: 0,25

 

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, tg A = 7/24. Найдите sin A.

Используем формулу:

Из неё мы без труда найдём cos²A, а далее используя формулу основного тригонометрического тождества sin²A + cos²A = 1, сможем определить синус:

Вычислим sin A:

Ответ: 0,28

*Обратите внимание, что мы вычислили не косинус, а квадрат косинуса, так как далее для вычислений нам нужен именно квадрат.

 

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, АВ = 8, sin A = 0,5. Найдите BC.

Здесь нам дана сторона (гипотенуза) и синус угла.

Задача в одно действие, используется определение синуса:

Ответ: 4

 

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, АВ = 7, tg = . Найдите ВC.

В данной задаче через функцию тангенса мы можем выразить только катеты, но они нам неизвестны. Поэтому выразим её через функцию косинуса. Далее по определению косинуса, мы сможем найти АС, а затем по теореме Пифагора найдём ВС. Итак:

Следовательно:

По определению косинуса cos A = AC/АВ, значит можем найти АС:

Далее по теореме Пифагора вычислим ВС:

Таким образом, ВС = 4.

Ответ: 4

 

 

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, АС = 24, ВС = 7. Найдите sin A.

Если в задаче известны две стороны, то лучше сразу найти третью сторону по теореме Пифагора. Зная все три стороны в прямоугольном треугольнике, мы всегда без труда найдём значение любой тригонометрической функции любого угла.

По теореме Пифагора:

По определению синуса:

Ответ: 0,28

 

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, , sin A = 11/14. Найдите AB.

По определению косинуса cos A = АС/АВ, значит:

Сторона АС нам известна, найдём cos A.

Из основного тригонометрического тождества:

Таким образом:

Ответ: 28

Способов решения каждой подобной задачи не менее трёх.

 

Решите самостоятельно: