Алгоритм. Ляпунов предложил простой и очень эффективный метод построения периодических решений для достаточно малых значений постоянной с решения системы (1.8)

Ляпунов предложил простой и очень эффективный метод построения периодических решений для достаточно малых значений постоянной с решения системы (1.8). Алгоритм Ляпунова использует аналитичность искомых решений по параметру с и дает правило построения решений в форме рядов специального вида, разложенных по степеням этого параметра.

Таким образом, на основании теоремы в разделе 1, решение системы уравнений (1.8) можно искать в виде:

, .

но это невозможно, так как период решения Т неизвестен. Тогда Ляпунов предложил видоизменить масштаб времени так, чтобы решения полученной системы имели фиксированный период, не зависящий от с (например, равный ).

Обратим внимание на формулу (1.24). Она показывает, что если ввести замену

(3.1)

то период колебаний по переменной будет равен . Сделав в системе уравнений (1.8) замену (3.1), получим

(3.2)

Так как правые части системы (3.2) мы умножили на аналитические функции параметра , то решение этой системы, так же как и системы (1.8), аналитические по и для любого достаточно малого периодические по . Но период по независимой переменной теперь уже фиксирован, он равен .

Периодические решения системы (3.2) будем искать в виде рядов

, . (3.3)

Подставим ряды (3.3) в систему уравнений (3.2) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях параметра . Функции и будут удовлетворять следующей системе уравнений:

, . (3.4)

В самом деле, функции и , будучи аналитическими функциями своих переменных, таковы, что их разложение начинается с членов второго порядка малости. Следовательно, при подстановке в эти функции рядов (3.3) функции и не будут содержать членов, линейных относительно . Начальные значения для системы (3.2) определены равенствами (1.13)

: , .

Следовательно, функции и будут соответствовать следующим начальным условиям:

: , ,

, , где i =2,3… (3.5)

Функции и будут удовлетворять системе уравнений

(3.6)

где и ─ квадратичные члены разложения функций и по степеням параметра . Так как и ─ аналитические функции переменных и , причем их разложение начинается с квадратичных членов, то и являются квадратичными формами переменных и .

Точно так же каждая пара функций и , входящая в разложение (3.3), определяется системой уравнений

(3.7)

причем функции и будут содержать величины и только тех номеров , которые меньше чем .

Кроме того, функции и будут содержать величины , причем Заметим, что величины входят в правые части (3.7) только уравнений относительно и , для которых :

(3.8)

и т. д.

Из уравнений (1.13) следует, что функции и при удовлетворяют начальным условиям

, . (3.9)

Вернемся снова к уравнениям (3.2). Хотя числа нам неизвестны заранее, но они на основании теоремы Ляпунова определяются однозначно для данной системы и не зависят от параметра , ни от начальных условий.

Далее члены рядов (3.3) также определяются однозначно, причём и ─ периодические функции переменного периода . В самом деле, и ─ периодические функции, следовательно,

(3.10)

Так как функции и не зависят от параметра , а равенства (3.10) справедливы для любого малого , то

, .

Таким образом, мы можем утверждать заранее, что функции и , которые определяются как решение задачи Коши (3.9) для системы уравнений (3.7), будут периодическими функциями времени периода . С другой стороны, уравнения (3.7) относятся к виду

, , (2.11)

где ,

являются периодическими функциями времени, поскольку они определяются периодическими функциями …, , , …, . Система вида (2.11) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда функции удовлетворяют условиям

На этом основании можно сформулировать следующее вспомогательное утверждение:

функции , и числа всегда удовлетворяют условиям (3.11)

 

 

Практическая часть

 

Индивидуальное задание

 

Список литературы.

1. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики, Наука, М.,

1981 г.

2. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, ГИТТЛ, М.,

1956.