Гармонический осциллятор.В классической физике гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую движения по закону синуса или косинуса. Потенциальная энергия такой частицы U = кх2/2, частота колебаний . Посмотрим, к каким результатам приведет решение уравнения Шрёдингера (a), если его применить к одномерной частице, которая обладает такой потенциальной энергией.
Мы не приводим решение этого уравнения, т.к. оно выходит далеко за рамки курса. [xv] Из решения следует, что полная энергия Е такого осциллятора квантуется:
По классическим представлениям при Т ® 0 К энергия должна стремиться к 0, решение уравнения Шрёдингера приводит к выводу о существовании нулевой энергии; даже при абсолютном нуле (Т = 0 К) частица имеет энергию ¹ 0. На рис. показаны плотности вероятности при различных энергиях Е осциллятора. Если мы спросим себя, а как ведет себя частица, ведь нам всегда хочется наглядно представить процессы. Ответ – не знаем, ведь квантовый объект имеет двойственную природу. Мы можем только сказать, что частица находится в потенциальной яме, имеет определенный набор энергий и, если ее энергия равна, например Е1, то вероятность обнаружить ее в середине ямы равна нулю. При переходе на другой уровень энергия частицы меняется дискретно, и система поглощает или испускает порцию энергии hn.
Существование нулевой энергии следует также из соотношения неопределенности. Действительно.
Таким образом, из соотношения неопределенностей следует, что энергия осциллятора равна .
Частица в одномерной потенциальной яме (ящике) Рассмотрим частицу с массой m, находящуюся в потенциальной яме, например, электрон в металле. Чтобы иметь возможность решить уравнение Шрёдингера введем следующие упрощения. 1).Частица находится в прямоугольной потенциальной яме, внутри ямы потенциальная энергия U постоянна, примем ее равной нулю = 0. Высота стенок ямы ® ¥, т.е. частица не может выйти из ямы (см.рис.). 2). Частица может двигаться только по оси х в пределах ширины ямы а, т.е. 0£ х £ а (одномерная задача). Запишем уравнение Шрёдингера a для частицы в виде:
При решении этого уравнения нам нужно найти пси-функцию y (х) и энергию Е частицы. По форме - это уравнение колебаний. Из математики известно, что решение такого дифференциального уравненияимеет вид: . Для нахождения коэффициентов А и В используем краевое условие , смысл которого в том, что частица не может выйти из ямы.
Таким образом, получаем:
Величину w найдем из второго краевого условия
Вторую неизвестную величину А найдем из условия нормировки.
Выразим плотность вероятности , используя пси-функцию (·), подставим w, и найдем интеграл. Учтем, что из тригонометрии: 2 sin2a = 1- cos2a. Учитывая, что интеграл равен 1, получим выражение для А:
Зная А и w, найдем окончательный вид решения:
Теперь осталось найти выражение для энергии электрона. Для этого нужно найти вторую производную пси-функции и подставить в уравнение [. Получим:
На рис. показаны энергетические уровни частицы, пси-функция и плотность вероятности для первых трех квантовых состояний. Площади под кривыми плотности вероятности представляют собой вероятности, т.к. . Что можно сказать о поведении частицы? В зависимости от того, какова ее энергия, вероятность обнаружить частицу различная. Например, при наименьшей энергии Е1 частица пребывает в основном в середине ямы, а при энергии Е2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю.
|